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  3. 在约束条件C：x2＋2xy＋2y2－4y＝0，求f(x，y)＝的最大值与最小值．

在约束条件C：x2＋2xy＋2y2－4y＝0，求f(x，y)＝的最大值与最小值．

admin2021-04-07  27
问题 在约束条件C：x2＋2xy＋2y2－4y＝0，求f(x，y)＝的最大值与最小值．
选项
答案求f(x，y)＝[*]的最大值与最小值，等价于讨论 [*] 用拉格朗日乘数法，构造辅助函数，有 F(x，y，λ)＝(x＋y＋6)2＋λ(x2＋2xy＋2y2－4y)， 令[*] 由②－①式，得λ(2y－4)＝0，则λ＝0或y＝2。 当λ＝0时，②式与③式联立无解，所以不取λ＝0，改取y＝2，代入③式，得x2＋4x＝0，得x＝0或x＝－4，则有两点(0，2)或(4，2)。 取点(0，2)，得φ(0，2)＝16；取点(－4，2)，得φ(－4，2)＝64，由于约束条件C：x2＋2xy＋2y2－4y＝0所表示的曲线在xQy平面上的一个矩形区域D＝{(x，y)∣－k≤x≤k，－k≤y≤k}内，连续函数φ(x，y)在C上必有最大值与最小值，所以φmax(x，y)＝64，φmax(x，y)＝16，从而fmax(x，y)＝[*]，fmin(x，y)＝[*]
解析
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考研数学二

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