设D0是单连通区域，点M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0)，若P(x，y)，Q(x，y)在。有连续的一阶偏导数且 ((x，y)∈D)，问： (Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关； (Ⅱ)若又存在一

admin2018-11-21 104

问题设D₀是单连通区域，点M₀∈D₀，D=D₀＼{M₀}(即D是单连通区域D₀除去一个点M₀)，若P(x，y)，Q(x，y)在。有连续的一阶偏导数且

((x，y)∈D)，问：
(Ⅰ)∫_LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关；
(Ⅱ)若又存在一条环绕M₀的分段光滑闭曲线C₀使得

Pdx+Qdy=0，∫_LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关．

选项

答案(Ⅰ)这里D不是单连通区域，所以不能肯定积分∫_LPdx+Qdy在D上与路径无关．例如：积分[*]，则 [*] 即在全平面除原点外P(x，y)，Q(x，y)均有连续的一阶偏导数，且[*]．但若取L为C⁺即逆时针方向的以原点为圆心的单位圆周，则 [*][一sinθ(cosθ)，+cosθ(sinθ)’]dθ=2π≠0，因此，该积分不是与路径无关． (Ⅱ)能肯定积分在D上与路径无关．按挖去奇点的思路，我们作以 M₀为心，ε＞0为半径的圆周C_ε，使C_ε在C₀所围区域内．C_ε和C₀所围区域记为D_ε(见图10．10)．在D_ε上用格林公式得 [*] 其中C₀，C_ε均是逆时针方向．所以 [*]Pdx+Qdy=0．因此，ε＞0充分小，只要C_ε在C₀所围区域内，均有 [*]Pdx+Qdy=0． ① 现在我们可证：对D内任意分段光滑闭曲线C，均有 ∮_CPdx+Qdy=0． ② 若C不包围M₀，在C所围的区域上用格林公式，立即可得②式成立．若C包围M₀点，则可作以M₀为心，ε＞0为半径的小圆周C_ε，使得C_ε在C所围区域内且①成立．在C与C_ε所围的区域上用格林公式同理可证 ∫_CPdx+Qdy=[*]Pdx+Qdy=0．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1dg4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设D0是单连通区域，点M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0)，若P(x，y)，Q(x，y)在。有连续的一阶偏导数且 ((x，y)∈D)，问： (Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关； (Ⅱ)若又存在一

考研数学一

求，a为任意正实数．

已知向量组α1=(1，2，-1，1)T，α2=(2，0，t，0)T，α3=(0，-4，5，t)T线性无关，则t的取值范围为_______。

设ξ，η是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知ξ的分布率为P{ξ=i}=，i=1，2，3。又设X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)。(Ⅰ)写出二维随机变量的分布律：(Ⅱ)求随机变量X的数学期望E(X)。

设函数f(x)=x+，数列{xn}满足x1=1且xn+1=f(xn)，

(09年)设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=．记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为

(97年)设f(x)连续，φ(x)=∫01f(xt)dt，且=A(A为常数)，求φ’(x)并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．

设f(x)具有连续的二阶导数，令求g’(x)并讨论其连续性．

f(x，y，z)dy，变成由z至y再至x的顺序．

将长为L的棒随机折成三段，求这三段能构成三角形的概率．

目前酸化技术主要有解堵酸化、压裂酸化和()。

综合招生制度

按销售方式的不同，发货凭证的设计方式可分为_、_。

患者，男性，38岁，患急性黄疸型肝炎住院，护士制订的护理措施应监处

某生产过程，计划目标为100单元，过程包含3个子过程步骤，每个步骤都有独立的合格率Y1＝0.92Y2＝0.82Y3＝0.84，则RTY为()。

我国《刑法》规定，公司解散可分为自愿解散和强制解散。以下各项中属于公司强制解散的事由是()。

Catch-22

简述扁平化组织结构。

一串钥匙，共有10把，其中有4把能打开门，因开门者忘记哪些能打开门，便逐把试开，求下列事件的概率：第3把钥匙才打开门

Researchonanimalintelligencealwaysmakesmewonderjusthowsmarthumansare.【C1】______thefruit-flyexperimentsdescribed

设D0是单连通区域，点M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0)，若P(x，y)，Q(x，y)在。有连续的一阶偏导数且 ((x，y)∈D)，问： (Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关； (Ⅱ)若又存在一

考研数学一

求，a为任意正实数．

已知向量组α1=(1，2，-1，1)T，α2=(2，0，t，0)T，α3=(0，-4，5，t)T线性无关，则t的取值范围为_______。

设ξ，η是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知ξ的分布率为P{ξ=i}=，i=1，2，3。又设X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)。(Ⅰ)写出二维随机变量的分布律：(Ⅱ)求随机变量X的数学期望E(X)。

设函数f(x)=x+，数列{xn}满足x1=1且xn+1=f(xn)，

(09年)设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=．记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为

(97年)设f(x)连续，φ(x)=∫01f(xt)dt，且=A(A为常数)，求φ’(x)并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．

设f(x)具有连续的二阶导数，令求g’(x)并讨论其连续性．

f(x，y，z)dy，变成由z至y再至x的顺序．

将长为L的棒随机折成三段，求这三段能构成三角形的概率．

目前酸化技术主要有解堵酸化、压裂酸化和()。

综合招生制度

按销售方式的不同，发货凭证的设计方式可分为_____、_____。

患者，男性，38岁，患急性黄疸型肝炎住院，护士制订的护理措施应监处

某生产过程，计划目标为100单元，过程包含3个子过程步骤，每个步骤都有独立的合格率Y1＝0.92Y2＝0.82Y3＝0.84，则RTY为()。

我国《刑法》规定，公司解散可分为自愿解散和强制解散。以下各项中属于公司强制解散的事由是()。

Catch-22

简述扁平化组织结构。

一串钥匙，共有10把，其中有4把能打开门，因开门者忘记哪些能打开门，便逐把试开，求下列事件的概率：第3把钥匙才打开门

Researchonanimalintelligencealwaysmakesmewonderjusthowsmarthumansare.【C1】______thefruit-flyexperimentsdescribed

按销售方式的不同，发货凭证的设计方式可分为_、_。