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求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面,使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小,试写出切平面方程,并求出最小体积.
求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面,使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小,试写出切平面方程,并求出最小体积.
admin
2020-03-05
18
问题
求抛物面z=1+x
2
+y
2
的一个切平面,使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)
2
+y
2
=1所围成的体积最小,试写出切平面方程,并求出最小体积.
选项
答案
设M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)是抛物面上的任意一点,则该点处的切平面方程为[*] 即2x
0
(x一x
0
)+2y
0
(y一y
0
)一z一(1+x
0
2
+y
0
2
)]=0. 于是, z=2x
0
x+2y
0
y+1一x
0
2
一y
0
2
. 由于该立体在xOy坐标平面上的投影区域为D={(x,y)|(x一1)
2
+y
2
≤1},则所围成的体积为 [*] 由于驻点的唯一性,根据问题的实际意义,体积V确有最小值.故当x
0
=1,y
0
=0时,体积V达到最小[*] 此时,切平面方程为2(x—1)一(z一2)=0,即2x—z=0.
解析
本题主要考查抛物面上的任意一点的切平面方程,切平面与抛物面及圆柱面所围成的体积.
得到体积公式中的被积函数的表达式是本题的关键所在.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1fS4777K
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考研数学一
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