2. 考研
  3. 求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

admin2020-03-05  29
问题 求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．
选项
答案设M0(x0，y0，z0)是抛物面上的任意一点，则该点处的切平面方程为[*] 即2x0(x一x0)+2y0(y一y0)一z一(1+x02+y02)]=0． 于是， z=2x0x+2y0y+1一x02一y02． 由于该立体在xOy坐标平面上的投影区域为D={(x，y)｜(x一1)2+y2≤1}，则所围成的体积为 [*] 由于驻点的唯一性，根据问题的实际意义，体积V确有最小值．故当x0=1，y0=0时，体积V达到最小[*] 此时，切平面方程为2(x—1)一(z一2)=0，即2x—z=0．
解析 本题主要考查抛物面上的任意一点的切平面方程，切平面与抛物面及圆柱面所围成的体积．
得到体积公式中的被积函数的表达式是本题的关键所在．
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考研数学一

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