求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

admin2020-03-05 47

问题求抛物面z=1+x²+y²的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)²+y²=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

选项

答案设M₀(x₀，y₀，z₀)是抛物面上的任意一点，则该点处的切平面方程为[*] 即2x₀(x一x₀)+2y₀(y一y₀)一z一(1+x₀²+y₀²)]=0．于是， z=2x₀x+2y₀y+1一x₀²一y₀²．由于该立体在xOy坐标平面上的投影区域为D={(x，y)｜(x一1)²+y²≤1}，则所围成的体积为 [*] 由于驻点的唯一性，根据问题的实际意义，体积V确有最小值．故当x₀=1，y₀=0时，体积V达到最小[*] 此时，切平面方程为2(x—1)一(z一2)=0，即2x—z=0．

解析本题主要考查抛物面上的任意一点的切平面方程，切平面与抛物面及圆柱面所围成的体积．
得到体积公式中的被积函数的表达式是本题的关键所在．

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考研数学一

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求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

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设随机变量X1的分布函数为F1(x)，概率密度函数为f1(x)，且EX1=1，随机变量X的分布函数为F(x)=0．4F1(x)+0．6F1(2x+1)，则E(X)=________．

设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)＝t3f(x，y)，且fx’(1，2)＝1，fy’(1，2)＝4，则f(1，2)＝___________．

设向量组α1，α2，α3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是()．

设X和Y为两个随机变量，且P{X≥0，Y≥0}=，则P{min{X，Y}＜0}=________．

齐次线性方程组的系数矩阵为A，存在B≠O，使得AB=O，则()

设(n=1，2，…)，则下列级数中一定收敛的是()

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设G={(x，y)｜0≤x≤3，0≤y≤1}是一矩形，向矩形G上均匀地掷二随机点(X，Y)，则点(X，Y)落到圆x2+y2≤4上的概率为__________．

若由曲线y=2，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．

设函数f(x)在x=1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)－2ex｜≤(x-1)2，研究函数f(x)在x=1处的可导性．

下列可使心输出量增加的情况是

（2017年聊城）为了保证和促进课程对不同地区、学校、学生的要求，国家实行三级课程管理体制。这三级课程是（）

设函数f(x)=在点x=0处连续，则常数k=________。

流动性偏好理论的结果造成市场分两大部分：一部分短期资金市场，一部分长期资金市场。(　　)

合格投资者应当且只能委托托管人向中国结算公司申请开立一个证券账户。()

下列关于两种资产投资之间的投资收益率相关程度ρ1，2的表述，正确的有()。

债券筹资方式的优点有()。

(　　　)是指协议双方同意在约定的将来某个日期按约定的条件买入或卖出一定标准数量的某种金融工具的标准化协议。

()是欧洲的一颗灿烂的明珠，同时被人们称为“百万人口的超级村庄”。

A、Themanlikesthemodemartinahigherdegree.B、Themanlikestheclassicalartbetter.C、Themanlikesneithermodernnorc

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