[2007年] 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值.又f(A)=g(A),f(B)=g(B),证明:存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=g’’(ξ).

admin2019-04-08  25

问题 [2007年]  设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值.又f(A)=g(A),f(B)=g(B),证明:存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=g’’(ξ).

选项

答案因f(x),g(x)在(a,b)上连续,不妨设存在x1≤x2(x1,x2∈[a,b]),使f(x1)=M=g(x2),其中M为f(x),g(A)在[a,b]上相等的最大值.令F(x)=f(x)一g(x).若x1=x2,令η=x1,则F(η)=f(x1)一g(x1)=M—M=0;若x1<x2,则 F(x1)=f(x1)一g(x1)=M—g(x1)≥0, F(x2)=f(x2)一g(x2)=f(x2)一M≤0.又F(x)在[a,b]上连续,由介值定理知,存在η∈(x1,x2) [*] (a,b)使F(η)=0. 由题设,有F(A)=f(B)一g(A)=0,F(B)=f(B)一g(B)=0.对F(x)分别在[a,η]、 [η,b]上使用罗尔定理得到:存在ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b)使F’(ξ1)=0,F’(ξ2)=0.又因F’(x)可导,对F’(x)在[ξ1,ξ2]上使用罗尔定理得到:存在ξ∈(ξ1,ξ2) [*] (a,b)使得 F’’(ξ)=0, 即 f’’(ξ)=g’’(ξ).

解析
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