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确定常数a使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(0,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示.
确定常数a使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(0,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示.
admin
2021-02-25
36
问题
确定常数a使向量组α
1
=(1,1,a)
T
,α
2
=(1,a,1)
T
,α
3
=(0,1,1)
T
可由向量组β
1
=(1,1,a)
T
,β
2
=(-2,a,4)
T
,β
3
=(-2,a,a)
T
线性表示,但向量组β
1
,β
2
,β
3
不能由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
选项
答案
解法1:记A=(α
1
,α
2
,α
3
),B=(β
1
,β
2
,β
3
),由于β
1
,β
2
,β
3
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,故r(A)<3,从而 |A|=-(a-1)
2
(a+2)=0,所以a=1或a=-2. 当a=1时,α
1
=α
2
=α
3
=β
1
=(1,1,1)
T
,故α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,但β
2
=(-2,1,4)
T
不能由α
1
, α
2
,α
3
线性表示,所以a=1符合题意. 当a=-2时。由于 [*] 考虑线性方程组Bx=α
2
,因为r(B)=2,r(B,α
2
)=3,所以方程组Bx=α
2
无解,即α
2
不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示, 与题设矛盾.因此a=1. 解法2:记A=(α
1
,α
2
,α
3
),B=(β
1
,β
2
,β
3
),对矩阵(A,B)施行初等行变换: [*] 由于β
1
,β
2
,β
3
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,故r(A)<3,因此a=1或a=-2. 当a=1时, [*] 考虑线性方程组Ax=β
2
,由于r(A)=1,r(A,β
2
)=2,故方程组Ax=β
2
无解,所以β
2
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.另一方面,由于|B|=-9≠0,故Bx=α
i
(i=1,2,3)有唯一解,即α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,所以a=1符合题意. 当a=-2时, [*] 考虑线性方程组Bx=α
2
, [*] 由于r(B)=2,r(B,α
2
)=3,故方程组Bx=α
2
无解,即α
2
不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,与题设矛盾.因此a=1.
解析
本题考查向量组的线性表示.要求考生掌握矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
s
,α)经初等行变换变为矩阵B=(β
1
,β
2
,…,β
s
,β),则A的列向量组α
1
,α
2
,…,α
s
,α与B的列向量组β
1
,β
2
,…,β
s
,β对应的列有相同的线性相关性.方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
s
α
s
=α与方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+…x
s
β
s
=β同解.
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考研数学二
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