确定常数a使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(0,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示.

admin2021-02-25  39

问题 确定常数a使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(0,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示.

选项

答案解法1:记A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3),由于β1,β2,β3不能由α1,α2,α3线性表示,故r(A)<3,从而 |A|=-(a-1)2(a+2)=0,所以a=1或a=-2. 当a=1时,α1231=(1,1,1)T,故α1,α2,α3可由β1,β2,β3线性表示,但β2=(-2,1,4)T不能由α1, α2,α3线性表示,所以a=1符合题意. 当a=-2时。由于 [*] 考虑线性方程组Bx=α2,因为r(B)=2,r(B,α2)=3,所以方程组Bx=α2无解,即α2不能由β1,β2,β3线性表示, 与题设矛盾.因此a=1. 解法2:记A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3),对矩阵(A,B)施行初等行变换: [*] 由于β1,β2,β3不能由α1,α2,α3线性表示,故r(A)<3,因此a=1或a=-2. 当a=1时, [*] 考虑线性方程组Ax=β2,由于r(A)=1,r(A,β2)=2,故方程组Ax=β2无解,所以β2不能由α1,α2,α3线性表示.另一方面,由于|B|=-9≠0,故Bx=αi(i=1,2,3)有唯一解,即α1,α2,α3可由β1,β2,β3线性表示,所以a=1符合题意. 当a=-2时, [*] 考虑线性方程组Bx=α2, [*] 由于r(B)=2,r(B,α2)=3,故方程组Bx=α2无解,即α2不能由β1,β2,β3线性表示,与题设矛盾.因此a=1.

解析 本题考查向量组的线性表示.要求考生掌握矩阵A=(α1,α2,…,αs,α)经初等行变换变为矩阵B=(β1,β2,…,βs,β),则A的列向量组α1,α2,…,αs,α与B的列向量组β1,β2,…,βs,β对应的列有相同的线性相关性.方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=α与方程组x1β1+x2β2+…xsβs=β同解.
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