设λ为可逆方阵A的特征值，且χ为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且χ为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且χ为对应的特征向量．

admin2019-07-22 41

问题设λ为可逆方阵A的特征值，且χ为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)

为A^-1的特征值，且χ为对应的特征向量；(3)

为A^*的特征值，且χ为对应的特征向量．

选项

答案若λ＝0，则有｜0E－A｜＝0，即(－1)ⁿ｜A｜＝0，[*]｜A｜＝0，这与A可逆矛盾，故必有λ≠0；由Aχ＝λχ两端右乘A^-1，得λA^-1χ＝χ，两端同乘[*]，得A^-1χ＝[*]χ，故[*]为A^-1的一个特征值，且χ为对应的特征向量；因A^-1＝｜A｜A^* 代入A^-1χ＝[*]χ，得A^*χ＝[*]，故[*]为A^*的一个特征值，且χ为对应的特征向量．

解析

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