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设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,且f(a)=f(b)=g(a)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,且f(a)=f(b)=g(a)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.
admin
2020-03-16
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问题
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,且f(a)=f(b)=g(a)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.
选项
答案
令F(x)=f(x)g(x),在x=a处利用泰勒公式展开,有 F(x)=F(a)+F’(a)(x一a)+[*]F"(ξ)(x一a)
2
(a<ξ<x). ① 令x=b,代入式①,得 F(b)=F(a)+F’(a)(b一a)+[*]F"(ξ)(b一a)
2
(a<ξ<b). ② 因f(a)=f(b)=g(a)=0,则F(a)=F(b)=0,且F’(a)=0,代入式②,得F"(ξ)=0,即 f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.
解析
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考研数学二
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