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设f(x)在(-∞,+∞)上连续,f’(0)=1,且对任意的x,y∈(-∞,+∞)有f(x+y)=f(x)f(y),求f(x).
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,f’(0)=1,且对任意的x,y∈(-∞,+∞)有f(x+y)=f(x)f(y),求f(x).
admin
2019-09-04
37
问题
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,f’(0)=1,且对任意的x,y∈(-∞,+∞)有f(x+y)=f(x)f(y),求f(x).
选项
答案
[*] 由f(0)=f
2
(0)得f(0)=0或f(0)=1, 若f(0)=0,则对任意的x∈(-∞,+∞),有f(x)=f(x)f(0)=0, 则f’(x)≡0,与f’(0)=1矛盾,从而f(0)=1, 于是f’(x)=f(x)[*]=f(x)f’(0)=f(x), 即f’(x)-f(x)=0,解得f(x)=Ce
-∫-dx
=Ce
x
,由f(0)=1得C=1,故f(x)=e
x
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1oD4777K
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考研数学三
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