设f(x)在(-∞，+∞)上连续，f’(0)=1，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有f(x+y)=f(x)f(y)，求f(x)．

admin2019-09-04 38

问题设f(x)在(-∞，+∞)上连续，f’(0)=1，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有f(x+y)=f(x)f(y)，求f(x)．

选项

答案[*] 由f(0)=f²(0)得f(0)=0或f(0)=1，若f(0)=0，则对任意的x∈(-∞，+∞)，有f(x)=f(x)f(0)=0，则f’(x)≡0，与f’(0)=1矛盾，从而f(0)=1，于是f’(x)=f(x)[*]=f(x)f’(0)=f(x)，即f’(x)-f(x)=0，解得f(x)=Ce^-∫-dx=Ce^x，由f(0)=1得C=1，故f(x)=e^x．

解析

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