2. 考研
  3. 设f(x)在(-∞，+∞)上连续，f’(0)=1，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有f(x+y)=f(x)f(y)，求f(x)．

设f(x)在(-∞，+∞)上连续，f’(0)=1，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有f(x+y)=f(x)f(y)，求f(x)．

admin2019-09-04  48
问题 设f(x)在(-∞，+∞)上连续，f’(0)=1，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有f(x+y)=f(x)f(y)，求f(x)．
选项
答案[*] 由f(0)=f2(0)得f(0)=0或f(0)=1， 若f(0)=0，则对任意的x∈(-∞，+∞)，有f(x)=f(x)f(0)=0， 则f’(x)≡0，与f’(0)=1矛盾，从而f(0)=1， 于是f’(x)=f(x)[*]=f(x)f’(0)=f(x)， 即f’(x)-f(x)=0，解得f(x)=Ce-∫-dx=Cex，由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex．
解析
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考研数学三

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