设F(x)可导，下述命题： ①F’(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数； ②F’(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数； ③F’(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数．正确的个数是 ( )

admin2018-12-21 119

问题设F(x)可导，下述命题：
①F^’(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数；
②F^’(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数；
③F^’(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数．
正确的个数是 ( )

选项 A、0．
B、1．
C、2
D、3．

答案B

解析 ②是正确的．设F^’(x)＝f(x)为奇函数，则
φ(x)＝∫₀^xf(t)dt必是偶函数．证明如下：
φ(－x)＝∫₀^－xf(t)dt＝∫₀^xf(－t)－dt＝∫₀^xf(t)dt＝φ(x)．
又因f(x)的任意一个原函数必是φ(x)﹢C的形式，所以f(x)的任意一个原函数必是偶函数．必要性证毕．
设F(x)为偶函数，则F(x)＝F(－x)，
两边对x求导，得F^’(x)＝－F^’(－x)
所以F^’为基函数，充分性证毕．
①是不正确的．反例：(x³﹢1)^’＝3x²为偶函数，但x^3’﹢1并非奇函数，必要性不成立．
③是不正确的．反例：(sin x﹢x)^’＝cos x﹢1为周期函数，但sin x﹢x不是周期函数，必要性不成立．

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考研数学二

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由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=0所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为，其值等于．

已知向量组α1，α2，…，αs+1(s＞1)线性无关，βi=αi+tαi+1，i=1，2，…，s．证明：向量组β1，β2，…，βs线性无关．

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