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设F(x)可导,下述命题: ①F’(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数; ②F’(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数; ③F’(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数. 正确的个数是 ( )
设F(x)可导,下述命题: ①F’(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数; ②F’(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数; ③F’(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数. 正确的个数是 ( )
admin
2018-12-21
115
问题
设F(x)可导,下述命题:
①F
’
(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数;
②F
’
(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数;
③F
’
(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数.
正确的个数是 ( )
选项
A、0.
B、1.
C、2
D、3.
答案
B
解析
②是正确的.设F
’
(x)=f(x)为奇函数,则
φ(x)=∫
0
x
f(t)dt必是偶函数.证明如下:
φ(-x)=∫
0
-x
f(t)dt=∫
0
x
f(-t)-dt=∫
0
x
f(t)dt=φ(x).
又因f(x)的任意一个原函数必是φ(x)﹢C的形式,所以f(x)的任意一个原函数必是偶函数.必要性证毕.
设F(x)为偶函数,则F(x)=F(-x),
两边对x求导,得F
’
(x)=-F
’
(-x)
所以F
’
为基函数,充分性证毕.
①是不正确的.反例:(x
3
﹢1)
’
=3x
2
为偶函数,但x
3’
﹢1并非奇函数,必要性不成立.
③是不正确的.反例:(sin x﹢x)
’
=cos x﹢1为周期函数,但sin x﹢x不是周期函数,必要性不成立.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/U8j4777K
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考研数学二
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