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  3. 设F(x)可导，下述命题： ①F’(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数； ②F’(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数； ③F’(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数． 正确的个数是 ( )

设F(x)可导，下述命题： ①F’(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数； ②F’(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数； ③F’(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数． 正确的个数是 ( )

admin2018-12-21  138
问题 设F(x)可导，下述命题：
①F’(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数；
②F’(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数；
③F’(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数．
正确的个数是    (  )
选项 A、0．
B、1．
C、2
D、3．
答案B
解析 ②是正确的．设F’(x)＝f(x)为奇函数，则
φ(x)＝∫0xf(t)dt必是偶函数．证明如下：
φ(－x)＝∫0－xf(t)dt＝∫0xf(－t)－dt＝∫0xf(t)dt＝φ(x)．
又因f(x)的任意一个原函数必是φ(x)﹢C的形式，所以f(x)的任意一个原函数必是偶函数．必要性证毕．
设F(x)为偶函数，则F(x)＝F(－x)，
两边对x求导，得F’(x)＝－F’(－x)
所以F’为基函数，充分性证毕．
①是不正确的．反例：(x3﹢1)’＝3x2为偶函数，但x3’﹢1并非奇函数，必要性不成立．
③是不正确的．反例：(sin x﹢x)’＝cos x﹢1为周期函数，但sin x﹢x不是周期函数，必要性不成立．
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考研数学二

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