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  3. 已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (I)求实数a的值； (II)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (I)求实数a的值； (II)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

admin2016-04-11  51
问题 已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．
(I)求实数a的值；
(II)求正交变换x=Qy将f化为标准形．
选项
答案(I) 因为r(ATA)=r(A)，对A施以初等行变换 [*] 可见当a=一1时，r(A)=2，所以a=一1． (Ⅱ)[*] =(λ一2)(λ2一6λ)=λ(λ一2)(λ一6) 于是得ATA的特征值为λ1=2，λ2=6，λ3=0． 对于λ=2，由求方程组(2E—ATA)x=0的一个非零解， 可得属于λ1=2的一个单位特征向量[*](1，一1，0)T； 对于λ2=6，由求方程组(6E一ATA)x=0的一个非零解， 可得属于λ2=6的一个单位特征向量[*](1，1，2)T； 对于λ3=0，由求方程组(ATA)x=0的一个非零解， 可得属于λ3=0的一个单位特征向量[*](1，1，一1)T． 令矩阵Q=[*] 则f在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y12+6y22．
解析
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考研数学一

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