已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (I)求实数a的值； (II)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

admin2016-04-11 71

问题已知A=

，二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2．
(I)求实数a的值；
(II)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

选项

答案(I) 因为r(A^TA)=r(A)，对A施以初等行变换 [*] 可见当a=一1时，r(A)=2，所以a=一1． (Ⅱ)[*] =(λ一2)(λ²一6λ)=λ(λ一2)(λ一6) 于是得A^TA的特征值为λ₁=2，λ₂=6，λ₃=0．对于λ=2，由求方程组(2E—A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₁=2的一个单位特征向量[*](1，一1，0)^T；对于λ₂=6，由求方程组(6E一A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₂=6的一个单位特征向量[*](1，1，2)^T；对于λ₃=0，由求方程组(A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₃=0的一个单位特征向量[*](1，1，一1)^T．令矩阵Q=[*] 则f在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y₁²+6y₂²．

解析

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考研数学一

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已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (I)求实数a的值； (II)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

考研数学一

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明：存在η∈(a,b),使得f"(η)－3f’(η)+2f(η)=0.

设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTAQ=A。

设f(x)是周期为1的周期函数，在[0，1]上可导，且f(1)=0，记证明：存在一点η∈(1，2)，使得｜f’(η)｜≥2M。

设f(x)在[0，1]可导，0＜f’(x)＜1，0＜f(x)＜1，且F(x)=1/2[x+f(x)]。证明：方程F(x)=x在(0，1)内有唯一实根ξ

设y=y(x)由x=3t/(1+t3)，y=3t3/(1+t3)确定，则曲线y=y(x)的斜渐近线方程为()

设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f(0)≤0，证明：存在ξ∈(ξ1，ξ2)，使得f(ξ)+f’(ξ)=2020

设面密度为1的立体Ω由不等式≤z≤1表示，求Ω对直线L：x=y=z的转动惯量．

离散型随机变量X的概率分布为(1)P{X=i}=a2i，i=1，2，…，100；(2)P{X=i}=2ai，i=1，2，…，分别求(1)、(2)中a的值．

设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X>uα}=α，若P{丨X丨

根据题意设X1，X2，…，Xn是一个简单随机样本，因此X1，X2，…，Xn相互独立，且与总体同分布，从而可知[*]

求下列极限

在审计监督过程中，审计机关可以对各级行政机关的（）等情况进行专门的稽查和审核。（）

两院制

两块金属板在两个M12的普通螺栓连接。若接合面的摩擦系数f=0．3，螺栓预紧力控制在其屈服上限的70％。螺栓用性能等级为4．8的中碳钢制造，求此连接所能传递的横向载荷。

Word2010中，以下说法错误的是()

镜影细胞的特点包括

商务谈判追求的主要目的是(?)。

在内燃机状态监测技术中，通过对润滑油污染进行分析的检测方法有()。

味精的化学名为()。

在用来发射卫星的火箭头部涂了一层特殊的物质。这种物质可以避免火箭因高速运动与空气作用产生高温而被毁坏的危险。这种材料能起这种作用的主要原因是()。

已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (I)求实数a的值； (II)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

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设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTA*Q=A。

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离散型随机变量X的概率分布为(1)P{X=i}=a2i，i=1，2，…，100；(2)P{X=i}=2ai，i=1，2，…，分别求(1)、(2)中a的值．

设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X>uα}=α，若P{丨X丨

根据题意设X1，X2，…，Xn是一个简单随机样本，因此X1，X2，…，Xn相互独立，且与总体同分布，从而可知[*]

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味精的化学名为()。

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