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  3. 设a1，a2，…，at为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，证明：β，β＋a1，β＋a2，…，β＋at线性无关．

设a1，a2，…，at为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，证明：β，β＋a1，β＋a2，…，β＋at线性无关．

admin2019-11-25  69
问题 设a1，a2，…，at为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，证明：β，β＋a1，β＋a2，…，β＋at线性无关．
选项
答案方法一 由a1，a2，…，at线性无关[*]β，a1，a2，…，at线性无关， 令kβ＋k1(β＋a1)＋k2(β＋a2)＋…＋kt(β＋at)＝0， 即(k＋k1＋…＋kt)β＋k1a1＋…＋ktat＝0， ∵β，a1，a2，…，at线性无关 ∴[*]＝k＝k1＝…＝kt＝0， ∴β，β＋a1，β＋a2，…，β＋at线性无关 方法二 令kβ＋k1(β＋a1)＋k2(β＋a2)＋…＋kt(β＋at)＝0， [*](k＋k1＋…＋kt)β＝－k1a1－…－ktat [*](k＋k1＋…＋kt)Aβ＝－k1Aa1－…－ktAat＝0， ∵Aβ≠0，∴k＋k1＋…＋kt＝0，∴k1a1＋…＋ktat＝0[*]k＝k1＝…＝kt＝0， 所以β，β＋a1，…，β＋at线性无关．
解析
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考研数学三

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