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设a1,a2,…,at为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+a1,β+a2,…,β+at线性无关.
设a1,a2,…,at为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+a1,β+a2,…,β+at线性无关.
admin
2019-11-25
55
问题
设a
1
,a
2
,…,a
t
为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+a
1
,β+a
2
,…,β+a
t
线性无关.
选项
答案
方法一 由a
1
,a
2
,…,a
t
线性无关[*]β,a
1
,a
2
,…,a
t
线性无关, 令kβ+k
1
(β+a
1
)+k
2
(β+a
2
)+…+k
t
(β+a
t
)=0, 即(k+k
1
+…+k
t
)β+k
1
a
1
+…+k
t
a
t
=0, ∵β,a
1
,a
2
,…,a
t
线性无关 ∴[*]=k=k
1
=…=k
t
=0, ∴β,β+a
1
,β+a
2
,…,β+a
t
线性无关 方法二 令kβ+k
1
(β+a
1
)+k
2
(β+a
2
)+…+k
t
(β+a
t
)=0, [*](k+k
1
+…+k
t
)β=-k
1
a
1
-…-k
t
a
t
[*](k+k
1
+…+k
t
)Aβ=-k
1
Aa
1
-…-k
t
Aa
t
=0, ∵Aβ≠0,∴k+k
1
+…+k
t
=0,∴k
1
a
1
+…+k
t
a
t
=0[*]k=k
1
=…=k
t
=0, 所以β,β+a
1
,…,β+a
t
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/29D4777K
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考研数学三
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