设a1,a2,…,at为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+a1,β+a2,…,β+at线性无关.

admin2019-11-25  35

问题 设a1,a2,…,at为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+a1,β+a2,…,β+at线性无关.

选项

答案方法一 由a1,a2,…,at线性无关[*]β,a1,a2,…,at线性无关, 令kβ+k1(β+a1)+k2(β+a2)+…+kt(β+at)=0, 即(k+k1+…+kt)β+k1a1+…+ktat=0, ∵β,a1,a2,…,at线性无关 ∴[*]=k=k1=…=kt=0, ∴β,β+a1,β+a2,…,β+at线性无关 方法二 令kβ+k1(β+a1)+k2(β+a2)+…+kt(β+at)=0, [*](k+k1+…+kt)β=-k1a1-…-ktat [*](k+k1+…+kt)Aβ=-k1Aa1-…-ktAat=0, ∵Aβ≠0,∴k+k1+…+kt=0,∴k1a1+…+ktat=0[*]k=k1=…=kt=0, 所以β,β+a1,…,β+at线性无关.

解析
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