二阶微分方程y’’=e2y，满足条件y(0)=0，y’(0)=1的特解是y=________．

admin2022-04-08 67

问题二阶微分方程y^’’=e^2y，满足条件y(0)=0，y^’(0)=1的特解是y=________．

选项

答案一ln(1一x)．

解析题设的二阶微分方程不显含自变量x，令y^’=P并以y为自变量可降阶为关于P的一阶微分方程．注意当令y^’=P时,

．代入原方程即得

，把它改写为

=2e^2y，分离变量有2pdp=2e2^2ydy，积分即得其通解为P²=e^2y+C．利用题设的初值知当y=0时P=1，由此可确定常数C=0．于是得到新方程P²=e^2y，因为初值p=1>0，故可求p>0的解，即应解微分方程p=e^y，即

．分离变量可得e^-ydy=dx，积分即得其通解为e^-y=C_{1/sub>一x，即y=一In(C₁—x)．利用初值y(0)=0可确定常数C₁=1，故所求特解是y=一In(1一x)．【分析二】此二阶方程不显含x且不显含y将方程两边同乘y^’得y^’y^’’=e^2yy^’，即积分得y¹²=e^2y+C₁由y(0)=0，y^’(0)=1，定出C₁=0．因y^’(0)=1>0，故可求y^’>0的解y^’=e^y，其余同【分析一】可求出y=一ln(1一x)．}

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考研数学二

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