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二阶微分方程y’’=e2y,满足条件y(0)=0,y’(0)=1的特解是y=________.
二阶微分方程y’’=e2y,满足条件y(0)=0,y’(0)=1的特解是y=________.
admin
2022-04-08
39
问题
二阶微分方程y
’’
=e
2y
,满足条件y(0)=0,y
’
(0)=1的特解是y=________.
选项
答案
一ln(1一x).
解析
题设的二阶微分方程不显含自变量x,令y
’
=P并以y为自变量可降阶为关于P的一阶微分方程.注意当令y
’
=P时,
.代入原方程即得
,把它改写为
=2e
2y
,分离变量有2pdp=2e2
2y
dy,积分即得其通解为P
2
=e
2y
+C.利用题设的初值知当y=0时P=1,由此可确定常数C=0.于是得到新方程P
2
=e
2y
,因为初值p=1>0,故可求p>0的解,即应解微分方程p=e
y
,即
.分离变量可得e
-y
dy=dx,积分即得其通解为e
-y
=C
1/sub>一x,即y=一In(C
1
—x).利用初值y(0)=0可确定常数C
1
=1,故所求特解是y=一In(1一x).【分析二】此二阶方程不显含x且不显含y将方程两边同乘y
’
得y
’
y
’’
=e
2y
y
’
,即
积分得y
12
=e
2y
+C
1
由y(0)=0,y
’
(0)=1,定出C
1
=0.因y
’
(0)=1>0,故可求y
’
>0的解y
’
=e
y
,其余同【分析一】可求出y=一ln(1一x).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2Bf4777K
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考研数学二
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