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已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1一sinr)=8x+a(x), 其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程.
已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1一sinr)=8x+a(x), 其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程.
admin
2021-01-19
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问题
已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式
f(1+sinx)-3f(1一sinr)=8x+a(x),
其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程.
选项
答案
对f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)两边取极限,得 [*], 即有f(1)-3f(1)=0,于是得f(1)=0. 又因为[*], 可见有[*] =f(1)+3f’(1)=4f’(1)=8, 故得f’(1)=2. 由于f(x+5)=f(x),所以.f(6)=f(1)=0, [*] 故所求的切线方程为y=2(x—6),即2x-y-12=0.
解析
[分析] 求点(6,f(6))处的切线方程,关键是求出f’(6),而根据f(x)是周期为5的函数知,问题进一步转化为求在x=1处的导数f’(1),这恰好可通过已知关系式得到.
[评注] 若f(x)是以T为周期的可导函数,则由f(x+T)=f(x),有f’(x+T)=f’(x),即其导函数仍为同周期函数.本题只知f(x)连续,且只可推导出在一点。x=1处可导,因此其在x=6处的导数,不能直接套用公式f’(x+T)=f’(x),而必须根据导数的定义进行计算.
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考研数学二
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