2. 考研
  3. 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x＝0的某个邻域内满足关系式 f(1＋sinx)－3f(1一sinr)＝8x＋a(x)， 其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x＝1处可导，求曲线y＝f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x＝0的某个邻域内满足关系式 f(1＋sinx)－3f(1一sinr)＝8x＋a(x)， 其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x＝1处可导，求曲线y＝f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

admin2021-01-19  99
问题 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x＝0的某个邻域内满足关系式
    f(1＋sinx)－3f(1一sinr)＝8x＋a(x)，
其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x＝1处可导，求曲线y＝f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．
选项
答案对f(1＋sinx)－3f(1－sinx)＝8x＋a(x)两边取极限，得 [*]， 即有f(1)－3f(1)＝0，于是得f(1)＝0． 又因为[*]， 可见有[*] ＝f(1)＋3f’(1)＝4f’(1)＝8， 故得f’(1)＝2． 由于f(x＋5)＝f(x)，所以．f(6)＝f(1)＝0， [*] 故所求的切线方程为y＝2(x—6)，即2x－y－12＝0．
解析 [分析]  求点(6，f(6))处的切线方程，关键是求出f’(6)，而根据f(x)是周期为5的函数知，问题进一步转化为求在x＝1处的导数f’(1)，这恰好可通过已知关系式得到．
[评注]  若f(x)是以T为周期的可导函数，则由f(x＋T)＝f(x)，有f’(x＋T)＝f’(x)，即其导函数仍为同周期函数．本题只知f(x)连续，且只可推导出在一点。x＝1处可导，因此其在x＝6处的导数，不能直接套用公式f’(x＋T)＝f’(x)，而必须根据导数的定义进行计算．
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考研数学二

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