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  3. 设f(x)二阶可导，，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)—2f’(ξ)=一2．

设f(x)二阶可导，，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)—2f’(ξ)=一2．

admin2021-01-12  33
问题 设f(x)二阶可导，，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)—2f’(ξ)=一2．
选项
答案由[*]得f(0)=0，f’(0)=1； 由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得 [*] 令ψ(x)=e-2x[f’(x)一1]， ψ(0)一ψ(c)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得ψ(ξ)=0， 而ψ’(x)=一2e-2x[f’(x)一1]+e-2xf"(x)=e-2x[f"(x)一2f’(x)+2]，且e-2x≠0， 故f"(ξ)一2f’(ξ)=一2．
解析
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考研数学二

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