设f(x)二阶可导，，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)—2f’(ξ)=一2．

admin2021-01-12 38

问题设f(x)二阶可导，

，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)—2f’(ξ)=一2．

选项

答案由[*]得f(0)=0，f’(0)=1；由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得 [*] 令ψ(x)=e^-2x[f’(x)一1]， ψ(0)一ψ(c)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得ψ(ξ)=0，而ψ’(x)=一2e^-2x[f’(x)一1]+e^-2xf"(x)=e^-2x[f"(x)一2f’(x)+2]，且e^-2x≠0，故f"(ξ)一2f’(ξ)=一2．

解析

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考研数学二

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