设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝5χ12＋aχ22＋3χ32－2χ1χ2＋6χ1χ3－6χ2χ3的矩阵合同于． (Ⅰ)求常数a的值； (Ⅱ)用正交变换法化二次型f(χ1，χ2，χ3)为标准形．

admin2019-06-06 69

问题设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝5χ₁²＋aχ₂²＋3χ₃²－2χ₁χ₂＋6χ₁χ₃－6χ₂χ₃的矩阵合同于

．
(Ⅰ)求常数a的值；
(Ⅱ)用正交变换法化二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)为标准形．

选项

答案(Ⅰ)令[*]则f(χ₁，χ₂，χ₃)＝X^TAX．因为A与[*]合同，所以r(A)＝2＜3，故｜A｜＝0．由｜A｜＝[*]＝3(2a－10)＝0得a＝5，A＝[*]． (Ⅱ)由｜λE－A｜＝[*]＝λ(λ－4)(λ－9)＝0得λ₁＝0，λ₂＝4，λ₃＝9．由(0E－A)X＝0得ξ₁＝[*]；由(4E－A)X＝0得ξ₂＝[*]；由(9E－A)X＝0得ξ₃＝[*]，单位化得[*] [*]

解析

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