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设f(x)连续且f(x)/x=2,φ(x)=∫01f(xt)dt,求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性.
设f(x)连续且f(x)/x=2,φ(x)=∫01f(xt)dt,求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性.
admin
2018-06-15
30
问题
设f(x)连续且
f(x)/x=2,φ(x)=∫
0
1
f(xt)dt,求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性.
选项
答案
φ(x)的表达式中,积分号内含参变量戈,通过变量替换转化成变限积分. x≠0时,φ(x)=1/x∫
0
1
f(xt)d(xt)[*]1/x∫
0
x
f(s)ds;x=0时,φ(0)=∫
0
1
f(0)=f(0). 由f(x)在x=0连续及 [*] 求φ’(x)即求这个分段函数的导数,x≠0时与变限积分求导有关,x=0时可按定义求导. [*] 最后考察φ’(x)的连续性.显然,x≠0时φ’(x)连续,又 [*] =2-1=1=φ’(0) 即φ’(x)在x=0也连续,因此φ’(x)处处连续.
解析
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0
考研数学一
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