求下列三重积分: (Ⅰ)I=xy2x3dV,其中Ω是由曲面z=xy,y=x,z=0,x=1所围成的区域; (Ⅱ)I=dV,其中Ω由y=,y=0,z=0,x+z=围成; (Ⅲ)I=(1+x4)dV,其中Ω由曲面x2=y2+z2,x=1,x=2围成.

admin2016-10-26  36

问题 求下列三重积分:
(Ⅰ)I=xy2x3dV,其中Ω是由曲面z=xy,y=x,z=0,x=1所围成的区域;
(Ⅱ)I=dV,其中Ω由y=,y=0,z=0,x+z=围成;
(Ⅲ)I=(1+x4)dV,其中Ω由曲面x2=y2+z2,x=1,x=2围成.

选项

答案(Ⅰ)空间区域Ω的图形不太直观,但是,它在xOy平面上的投影区域Dxy为由y=0,y=x及x=1所围成的三角形,即图9.54所示,并且Ω的下侧边界是z=0,上侧边界为z=xy.这些条件对确定积分限已足够.Ω={(x,y,z)|0≤z≤xy,(x,y)∈Dxy},Dxy:0≤x≤1,0≤y≤x. [*] [*] (Ⅱ)Ω是柱形长条区域,上顶是平面x+z=[*],下底是Oxy平面,即z=0,侧面是柱面y=0,y=[*],注意,x+z=[*]与Oxy平面交于直线x=[*],于是 Ω={(x,y,z)|0≤z≤[*]-x,(x,y)∈Dxy},Dxy如图9.55. 也可看成Ω={(x,y,z)|0≤y≤[*],(x,y)∈Dzx}.注意y=[*]与Ozx平面交于x=0,Dzx如图9.56. 因此有 [*] (Ⅲ)Ω是锥体(顶点是原点,对称轴是x轴)被平面x=1,x=2所截部分,被积函数只与x有关,x∈[1,2],与x轴垂直平面截Ω得圆域D(x),半径为x,面积为πx2,于是用先二后一(先yz后x)的积分顺序得 [*]

解析
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