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[2010年] 一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆.现将贮油罐平放.当油罐中油面高度为b时(见图1.3.5.3),计算油的质量(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρ,单位为kg/m3).
[2010年] 一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆.现将贮油罐平放.当油罐中油面高度为b时(见图1.3.5.3),计算油的质量(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρ,单位为kg/m3).
admin
2019-04-05
124
问题
[2010年] 一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆.现将贮油罐平放.当油罐中油面高度为
b时(见图1.3.5.3),计算油的质量(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρ,单位为kg/m
3
).
选项
答案
利用定积分(或二重积分)求出底面面积,则体积和质量可相继求出. 解一 如图1.3.5.3所示建立坐标系,则油罐底面椭圆方程为[*]=1,图中影阴部分为油面与椭圆所围成的图形. 记S
3
为下半椭圆面积,则S
3
=πab/2. 记S
2
是位于x轴上方阴影部分的面积,则 S
2
=[*]. 令y=b sint,则dy=b cost dt.当y=0,b/2时,t=0,π/6. S
2
=2ab∫
0
π/6
[*]costdt=2ab∫
0
π/6
cos
2
dtdt =ab∫
0
π/6
(1+cos2t)dt=ab[*]. 于是油的质量为 (S
2
+S
3
)lp=(πab/2+πab/6+√3ab/4)lp =(2π/3+√3/4)ablp. [*] 解二 设油的质量为M,则M=pV,其中V=S
底
·h
高
为油的体积,如图1.3.5.4所示. S
底
=S
椭圆
一S
1
=πab—2[*]dxdy, 而[*] 故 S
底
=πab+[*] 所以 M=S
底
·h
高
·ρ=[*]ablp. [*]
解析
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