2. 考研
  3. [2010年] 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放．当油罐中油面高度为b时(见图1．3．5．3)，计算油的质量(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρ，单位为kg／m3)．

[2010年] 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放．当油罐中油面高度为b时(见图1．3．5．3)，计算油的质量(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρ，单位为kg／m3)．

admin2019-04-05  127
问题 [2010年]  一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放．当油罐中油面高度为b时(见图1．3．5．3)，计算油的质量(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρ，单位为kg／m3)．
选项
答案利用定积分(或二重积分)求出底面面积，则体积和质量可相继求出． 解一 如图1．3．5．3所示建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为[*]=1，图中影阴部分为油面与椭圆所围成的图形． 记S3为下半椭圆面积，则S3=πab／2． 记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则 S2=[*]. 令y=b sint，则dy=b cost dt．当y=0，b／2时，t=0，π／6． S2=2ab∫0π/6[*]costdt=2ab∫0π/6cos2dtdt =ab∫0π/6(1+cos2t)dt=ab[*]. 于是油的质量为 (S2+S3)lp=(πab／2+πab／6+√3ab／4)lp =(2π／3+√3／4)ablp． [*] 解二 设油的质量为M，则M=pV，其中V=S底·h高为油的体积，如图1．3．5．4所示． S底=S椭圆一S1=πab—2[*]dxdy, 而[*] 故 S底=πab+[*] 所以 M=S底·h高·ρ=[*]ablp． [*]
解析
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考研数学二

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