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设向量组(Ⅰ):α1=(2,4,-2)T,α2=(-1,a-3,1)T,α3=(2,8,b-1)T;(Ⅱ):β1=(2,b+5,-2)T,β2=(3,7,a-4)T,β3=(1,2b+4,-1)T.问. a,b取何值时,r(Ⅰ)=r(Ⅱ),且(Ⅰ)与(Ⅱ
设向量组(Ⅰ):α1=(2,4,-2)T,α2=(-1,a-3,1)T,α3=(2,8,b-1)T;(Ⅱ):β1=(2,b+5,-2)T,β2=(3,7,a-4)T,β3=(1,2b+4,-1)T.问. a,b取何值时,r(Ⅰ)=r(Ⅱ),且(Ⅰ)与(Ⅱ
admin
2021-02-25
61
问题
设向量组(Ⅰ):α
1
=(2,4,-2)
T
,α
2
=(-1,a-3,1)
T
,α
3
=(2,8,b-1)
T
;(Ⅱ):β
1
=(2,b+5,-2)
T
,β
2
=(3,7,a-4)
T
,β
3
=(1,2b+4,-1)
T
.问.
a,b取何值时,r(Ⅰ)=r(Ⅱ),且(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?
选项
答案
以α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
为列作矩阵,并对该矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵: [*] 由以上行阶梯形矩阵,得 当a≠1,b≠-1时,|α
1
,α
2
,α
3
|≠0,|β
1
,β
2
,β
3
|≠0,故此时r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ)=3,所以(Ⅰ)与(Ⅱ)等价. 当a=1,b=-1时,r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ)=2,故(Ⅰ)与(Ⅱ)也等价.
解析
本题考查在秩相等的条件下判断两向量组是否等价,需要从等价定义出发,即从(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示,且(Ⅱ)又可由(Ⅰ)线性表示来考虑,也就是r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ).
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考研数学二
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