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设f(χ)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,证明:至少存在一点ξ∈(0,π),使得f′(ξ)=-f(ξ)cotξ.
设f(χ)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,证明:至少存在一点ξ∈(0,π),使得f′(ξ)=-f(ξ)cotξ.
admin
2019-07-22
74
问题
设f(χ)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,证明:至少存在一点ξ∈(0,π),使得f′(ξ)=-f(ξ)cotξ.
选项
答案
令φ(χ)=f(χ)sinχ,φ(0)=φ(π)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,π),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(χ)=f′(χ)sinχ+f(χ)cosχ, 于是f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0,故f′(ξ)=-f(ξ)cotξ.
解析
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考研数学二
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