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  3. 证明：方程xa=lnx(a＜0)在（0，+∞）内有且仅有一个实根。

证明：方程xa=lnx(a＜0)在（0，+∞）内有且仅有一个实根。

admin2021-07-15  55
问题 证明：方程xa=lnx(a＜0)在（0，+∞）内有且仅有一个实根。
选项
答案令f(x)=lnx－xa(a＜0),则f(x)在（0，+∞）内连续，且f(1)=－1＜0,[*],故对任意M＞0,存在X＞1, 当x＞X时，有f(x)＞M＞0,任取x0＞X,则f(1)·f(x0)＜0,根据零点定理，至少存在ξ∈（1，x0),使得f(ξ)=0,即方程xa=lnx在（0，+∞）内至少有一实根。 又lnx在（0，+∞）内单调增加，因a＜0,－xa也单调增加，从而f(x)在（0，+∞）内单调增加，因此方程f(x)=0在（0，+∞）内只有一个实根，即方程xa=lnx在（0，+∞）内只有一个实根。
解析
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考研数学二

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