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证明:方程xa=lnx(a<0)在(0,+∞)内有且仅有一个实根。
证明:方程xa=lnx(a<0)在(0,+∞)内有且仅有一个实根。
admin
2021-07-15
76
问题
证明:方程x
a
=lnx(a<0)在(0,+∞)内有且仅有一个实根。
选项
答案
令f(x)=lnx-x
a
(a<0),则f(x)在(0,+∞)内连续,且f(1)=-1<0,[*],故对任意M>0,存在X>1, 当x>X时,有f(x)>M>0,任取x
0
>X,则f(1)·f(x
0
)<0,根据零点定理,至少存在ξ∈(1,x
0
),使得f(ξ)=0,即方程x
a
=lnx在(0,+∞)内至少有一实根。 又lnx在(0,+∞)内单调增加,因a<0,-x
a
也单调增加,从而f(x)在(0,+∞)内单调增加,因此方程f(x)=0在(0,+∞)内只有一个实根,即方程x
a
=lnx在(0,+∞)内只有一个实根。
解析
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考研数学二
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