证明：方程xa=lnx(a＜0)在（0，+∞）内有且仅有一个实根。

admin2021-07-15 53

问题证明：方程x^a=lnx(a＜0)在（0，+∞）内有且仅有一个实根。

选项

答案令f(x)=lnx－x^a(a＜0),则f(x)在（0，+∞）内连续，且f(1)=－1＜0,[*],故对任意M＞0,存在X＞1, 当x＞X时，有f(x)＞M＞0,任取x₀＞X,则f(1)·f(x₀)＜0,根据零点定理，至少存在ξ∈（1，x₀),使得f(ξ)=0,即方程x^a=lnx在（0，+∞）内至少有一实根。又lnx在（0，+∞）内单调增加，因a＜0,－x^a也单调增加，从而f(x)在（0，+∞）内单调增加，因此方程f(x)=0在（0，+∞）内只有一个实根，即方程x^a=lnx在（0，+∞）内只有一个实根。

解析

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