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设向量α1，α2，…，αn－1是n－1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1，α2，…，αn－1均正交的n维非零列向量。证明： α1，α2，…，αn-1，ξ1线性无关。
设向量α1，α2，…，αn－1是n－1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1，α2，…，αn－1均正交的n维非零列向量。证明： α1，α2，…，αn-1，ξ1线性无关。
admin
2019-01-26
25
问题
设向量α
1
，α
2
，…，α
n－1
是n－1个线性无关的n维列向量，ξ
1
，ξ
2
是与α
1
，α
2
，…，α
n－1
均正交的n维非零列向量。证明：
α
1
，α
2
，…，α
n-1
，ξ
1
线性无关。
选项
答案
设k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n－1
α
n-1
+k
0
ξ
1
=0，对等号两边同时取转置得 k
1
α
1
T
+k
2
α
2
T
+…+k
n-1
α
n－1
T
+k
0
ξ
1
T
=0， 上式两边同时右乘ξ
1
得 k
1
α
1
T
ξ
1
+k
2
α
2
T
ξ
1
+…+k
n－1
α
n－1
T
ξ
1
+k
0
ξ
1
T
ξ
1
=0， 在上式中α
i
T
=0(i=1，2，…，n－1)，所以k
0
ξ
1
T
ξ
1
=0。由ξ
1
≠0得ξ
1
T
ξ
1
≠0，所以k
0
=0，从而k
1
α
1
+k
2
α
2
+…k
n－1
α
n－1
=0。又因为α
1
，α
2
，…，α
n－1
线性无关，所以k
1
=k
2
=…=k
n－1
=k
0
=0，故 α
1
，α
2
，…，α
n－1
，ξ
1
线性无关。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2wj4777K
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考研数学二
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