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[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵,AT为A的转置矩阵,若a11,a12,a13为3个相等的正数,则a11为( ).
[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵,AT为A的转置矩阵,若a11,a12,a13为3个相等的正数,则a11为( ).
admin
2019-04-28
39
问题
[2005年] 设矩阵A=[a
ij
]
3×3
满足A
*
=A
T
,其中A
*
为A的伴随矩阵,A
T
为A的转置矩阵,若a
11
,a
12
,a
13
为3个相等的正数,则a
11
为( ).
选项
A、
B、3
C、1/3
D、
答案
A
解析
解一 显然矩阵A满足命题2.2.2.1中的三个条件,因而由该命题得|A|=1.将|A|按第1行展开得到1=|A|=a
11
A
11
+a
12
A
12
+a
13
A
13
=a
11
2
+a
12
2
+a
13
2
=3a
11
2
,故
仅(A)入选.
解二 由A
*
=A
T
,即
其中A
ij
为|A|中元素a
ij
的代数余子式,得a
ij
=A
ij
(i,j=1,2,3).将|A|按第1行展开,得到
|A|=a
11
A
11
+a
12
A
12
+a
13
A
13
=a
11
2
+
12
2
+a
13
2
=3a
11
2
>0.
又由A
*
=A
T
得到|A
*
|=|A|
3-1
=|A
T
|=|A|,即|A|(|A|=1)=0,而|A|>0,故|A|-1=0,即|A|=1,则3a
11
2
=1.因a
11
>0,故
仅(A)入选.
注:命题2.2.2.1 设A为n(n≥3)阶实矩阵,其元素分别与其代数余子式相等(a
ij
=A
ij
(i,j=1,2,…,n),即A
T
-A
*
或A=(A
*
)
T
)且其中一元素不等于0,则其行列式|A|等于1.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2zJ4777K
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考研数学三
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