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[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．
[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．
admin
2019-04-28
39
问题
[2005年] 设矩阵A=[a
ij
]
3×3
满足A
*
=A
T
，其中A
*
为A的伴随矩阵，A
T
为A的转置矩阵，若a
11
，a
12
，a
13
为3个相等的正数，则a
11
为( )．
选项
A、
B、3
C、1／3
D、
答案
A
解析
解一 显然矩阵A满足命题2．2．2．1中的三个条件，因而由该命题得|A|=1．将|A|按第1行展开得到1=|A|=a
11
A
11
+a
12
A
12
+a
13
A
13
=a
11
2
+a
12
2
+a
13
2
=3a
11
2
，故
仅(A)入选．
解二 由A
*
=A
T
，即
其中A
ij
为|A|中元素a
ij
的代数余子式，得a
ij
=A
ij
(i，j=1，2，3)．将|A|按第1行展开，得到
|A|=a
11
A
11
+a
12
A
12
+a
13
A
13
=a
11
2
+
12
2
+a
13
2
=3a
11
2
＞0．
又由A
*
=A
T
得到|A
*
|=|A|
3-1
=|A
T
|=|A|，即|A|(|A|=1)=0，而|A|>0，故|A|－1=0，即|A|=1，则3a
11
2
=1．因a
11
＞0，故
仅(A)入选．
注：命题2．2．2．1 设A为n(n≥3)阶实矩阵，其元素分别与其代数余子式相等(a
ij
=A
ij
(i，j=1，2，…，n)，即A
T
－A
*
或A=(A
*
)
T
)且其中一元素不等于0，则其行列式|A|等于1．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2zJ4777K
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考研数学三
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