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设曲线l:y=f(x)在第一象限(如图所示),其上任意一点C处的切线与y轴的交点为A,CD垂直于x轴,CB垂直于y轴,如果△ABC的面积恒等于曲边梯形EODC的面积. (I)求曲线l:y=f(x)所满足的微分方程; (Ⅱ)求该微分方程的通解.
设曲线l:y=f(x)在第一象限(如图所示),其上任意一点C处的切线与y轴的交点为A,CD垂直于x轴,CB垂直于y轴,如果△ABC的面积恒等于曲边梯形EODC的面积. (I)求曲线l:y=f(x)所满足的微分方程; (Ⅱ)求该微分方程的通解.
admin
2020-09-23
50
问题
设曲线l:y=f(x)在第一象限(如图所示),其上任意一点C处的切线与y轴的交点为A,CD垂直于x轴,CB垂直于y轴,如果△ABC的面积恒等于曲边梯形EODC的面积.
(I)求曲线l:y=f(x)所满足的微分方程;
(Ⅱ)求该微分方程的通解.
选项
答案
(I)点C处的切线方程为Y—y=y’(X-x),令X=0,得Y=y—xy’,即为A点的纵坐标,则△ABC的面积为[*]曲边梯形EODC的面积为∫
0
x
y(t)dt,则由已知条件,得 [*]x
2
y’=∫
0
x
y(t)dt,即x
2
y’=2∫
0
x
y(t)dt,等式两边对x求导,得 2xy’+x
2
y”=2y, 所以x
2
y”+2xy’一2y=0即为l:y=f(x)所满足的微分方程. (Ⅱ)令x=e
t
,则t=lnx,于是 [*] 将它们代入微分方程,得 [*] 这是一个二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为r
2
+r一2=0,特征根为r
1
=一2,r
2
=1,故其通解为 y=C
1
e
-2t
+C
2
e
t
=C
1
e
-2lnx
+C
2
e
lnx
=[*],其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/30v4777K
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考研数学一
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