若A是n阶正定矩阵，证明A-1，A*也是正定矩阵．

admin2021-11-09 69

问题若A是n阶正定矩阵，证明A^-1，A^*也是正定矩阵．

选项

答案因A正定，所以A^T＝A．那么(A^-1)^T＝(A^T)^-1＝A^-1，即A^-1是实对称矩阵．设A的特征值是λ₁，λ₂，…，λ_n，那么A^-1的特征值是[*]由A正定知λ_i＞0(i＝1，2，…，n)．因此A^-1的特征值[*]＞0(i＝1，2，…，n)．从而A^-1正定． A^*＝｜A｜A^-1，｜A｜＞0，则A^*也是实对称矩阵，并且特征值为 [*] 都大于0．从而A^*正定．

解析

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