若A是n阶正定矩阵,证明A-1,A*也是正定矩阵.

admin2021-11-09  47

问题 若A是n阶正定矩阵,证明A-1,A*也是正定矩阵.

选项

答案因A正定,所以AT=A.那么(A-1)T=(AT)-1=A-1,即A-1是实对称矩阵. 设A的特征值是λ1,λ2,…,λn,那么A-1的特征值是[*]由A正定知λi>0(i=1,2,…,n).因此A-1的特征值[*]>0(i=1,2,…,n).从而A-1正定. A*=|A|A-1,|A|>0,则A*也是实对称矩阵,并且特征值为 [*] 都大于0.从而A*正定.

解析
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