2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)＝∫02f(t)dt－f(2)＋f(3)． 证明：(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0． (2)存在ξ∈(0，3)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ

设f(χ)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)＝∫02f(t)dt－f(2)＋f(3)． 证明：(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0． (2)存在ξ∈(0，3)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ

admin2019-08-23  76
问题 设f(χ)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)＝∫02f(t)dt－f(2)＋f(3)．
    证明：(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0．
    (2)存在ξ∈(0，3)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ)＝0．
选项
答案(1)令F(χ)＝∫0χf(t)dt，F′(χ)＝f(χ)， ∫02f(t)dt＝F(2)－F(0)＝F′(c)(2－0)＝2f(c)，其中0＜c＜2． 因为f(χ)在[2，3]上连续，所以f(χ)在[2，3]上取到最小值m和最大值M， m≤[*]≤M， 由介值定理，存在χ0∈[2，3]，使得f(χ0)＝[*]，即f(2)＋f(3)＝2f(χ0)， 于是f(0)＝f(c)＝f(χ0)， 由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)[*](0，3)，ξ2∈(c，χ0)[*](0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0． (2)令φ(χ)＝e－2χf′(χ)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，3)，使得φ′(ξ)＝0， 而φ′(χ)＝e－2χ[f〞(χ)－2f′(χ)]且e－2χ≠0，故f〞(ξ)－2f′(ξ)＝0．
解析
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考研数学二

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