设V1={x=(x1,x2,…,xn)T|x1,…,xn∈R满足x1+…+xn=0), V2={x=(x1,x2,…,xn)T|x1,…,xn∈R满足x1+…+xn=1), 问V1,V2是不是向量空间?为什么?

admin2021-02-25  22

问题 设V1={x=(x1,x2,…,xn)T|x1,…,xn∈R满足x1+…+xn=0),
     V2={x=(x1,x2,…,xn)T|x1,…,xn∈R满足x1+…+xn=1),
问V1,V2是不是向量空间?为什么?

选项

答案①V1是向量空间,因为(0,0,…,0)∈V1,所以V1非空. 若α=(x1,x2,…,xn)∈V1,β=(y1,y2,…,yn)∈V1,λ∈R,则 α+β=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn), 而x1+y1+x2+y2+…+xn+yn=(x1+x2+…+xn)+(y1+y2+…+yn)=0,所以α+β∈V1.λα=(λx1,λx2,…,λxn),λx1+λx2+…+λxn=λ(x1+x2+…+xn)=0, 所以λα∈V1.所以V1对加法和数乘运算均封闭,从而可得V1是向量空间; ②V2不是向量空间. 若α=(x1,x2,…,xn)∈V2,β=(y1,y2,…,yn)∈V2,则 α+β=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn). 而x1+y1+x2+y2+…+xn+yn=(x1+x2+…+xn)+(y1+y2+…+yn)=1+1= 2,所以α+β[*]V2,从而可得V2对加法运算不封闭,所以V2不是向量空间.

解析
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