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  3. 设V1={x=(x1，x2，…，xn)T｜x1，…，xn∈R满足x1+…+xn=0)， V2={x=(x1，x2，…，xn)T｜x1，…，xn∈R满足x1+…+xn=1)， 问V1，V2是不是向量空间?为什么?

设V1={x=(x1，x2，…，xn)T｜x1，…，xn∈R满足x1+…+xn=0)， V2={x=(x1，x2，…，xn)T｜x1，…，xn∈R满足x1+…+xn=1)， 问V1，V2是不是向量空间?为什么?

admin2021-02-25  26
问题 设V1={x=(x1，x2，…，xn)T｜x1，…，xn∈R满足x1+…+xn=0)，
     V2={x=(x1，x2，…，xn)T｜x1，…，xn∈R满足x1+…+xn=1)，
问V1，V2是不是向量空间?为什么?
选项
答案①V1是向量空间，因为(0，0，…，0)∈V1，所以V1非空． 若α=(x1，x2，…，xn)∈V1，β=(y1，y2，…，yn)∈V1，λ∈R，则 α+β=(x1+y1，x2+y2，…，xn+yn)， 而x1+y1+x2+y2+…+xn+yn=(x1+x2+…+xn)+(y1+y2+…+yn)=0，所以α+β∈V1．λα=(λx1，λx2，…，λxn)，λx1+λx2+…+λxn=λ(x1+x2+…+xn)=0， 所以λα∈V1．所以V1对加法和数乘运算均封闭，从而可得V1是向量空间； ②V2不是向量空间． 若α=(x1，x2，…，xn)∈V2，β=(y1，y2，…，yn)∈V2，则 α+β=(x1+y1，x2+y2，…，xn+yn)． 而x1+y1+x2+y2+…+xn+yn=(x1+x2+…+xn)+(y1+y2+…+yn)=1+1= 2，所以α+β[*]V2，从而可得V2对加法运算不封闭，所以V2不是向量空间．
解析
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考研数学二

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