设A，B都是对称矩阵，并且E+AB可逆，证明(E+AB)-1A是对称矩阵．

admin2018-06-27 51

问题设A，B都是对称矩阵，并且E+AB可逆，证明(E+AB)^-1A是对称矩阵．

选项

答案(E+AB)^-1A对称，就是[(E+AB)^-1A]^T=(E+AB)^-1A． [(E+AB)^-1A]^T=A[(E+AB)^-1]^T=A[(E+AB)^T]^-1=A(E+BA)^-1．于是要证明的是 (E+AB)^-1A=A(E+BA)^-1．对此式作恒等变形： (E+AB)^-1A=A(E+BA)^-1[*]A=(E+AB)A(E+BA)^-1 (用E+AB左乘等式两边) [*]A(E+BA)=(E+AB)A (用E+BA右乘等式两边)．等式A(E+BA)=(E+AB)A．显然成立，于是(E+AB)^-1A=A(E+BA)^-1成立．

解析

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