首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
[2002年] 设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2.4=O,已知A的秩r(A)=2.(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
[2002年] 设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2.4=O,已知A的秩r(A)=2.(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
admin
2019-04-15
58
问题
[2002年] 设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A
2
+2.4=O,已知A的秩r(A)=2.(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
选项
答案
解一 因A为三阶实对称矩阵,可对角化.又秩(A)=2,由命题2.5.4.1(2)知,A的非零特征值只有2个,另一个特征值为0.设A的非零特征值为λ,则A的矩阵多项式f(A)=A
2
+2A的特征值为λsup>2+2λ,且满足λ
2
+2λ=0即λ=-2,λ=0,故A的特征值为-2,-2,0,于是A~diag(-2,-2,0).由命题2.5.3.1(2)知,A+kE~diag(-2+k,-2+k,k).为使A+kE正定,只需其所有特征值全大于零,即-2+k>0,k>0.因而当k>2时,A+kE为正定矩阵. 解二 设λ为A的一个特征值,α为其对应的特征向量,则Aα=λα(α≠0),λ
2
α=λ
2
α,于是有 (A
2
+2A)α=(λ
2
+2λ)α. 由A
2
+2A=O得到(λ
2
+2λ)α=0,因α≠0,故λ
2
+2λ=0,所以λ=-2,λ=0.因A为实对称矩阵必可对角化,且秩(A)=2,由命题2.5.4.1(2)知,A~diag(-2,-2,0)=Λ. 因A的全部特征值为-2,-2,0,故A+kE的全部特征值为-2+k,-2+k,k.当k>2时,A+kE的全部特征值大于零,故A+kE为正定矩阵. 解三 因A为实对称矩阵,必可对角化,故存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=Λ,则 A=PΛP
-1
, A+kE=PΛP
-1
+kPEP
-1
=P(Λ+kE)P
-1
, 其中Λ=diag(-2,-2,0),而-2,-2,0为A的特征值.因A+kE与Λ+kE相似,且Λ+忌kE=diag(k-2,k-2,k),当k>2时,Λ+kE的特征值(其顺序主子式)大于零,而相似矩阵的特征值相等,故A+kE的特征值也全大于零,因而A+kE当k>2时正定. 注:命题2.5.4.1 (2)若A为n阶实对称矩阵,则秩(A)等于A的非零特征值的个数(k重特征值视为k个特征值),因而零特征值的个数等于n-秩(A). 命题2.5.3.1 设A,B为n阶矩阵.(2)若n阶矩阵A相似于对角矩阵Λ,则其矩阵多项式f(A)一定相似于对角矩阵f(Λ)=diag(f(λ
1
),f(λ
2
),…,f(λ
n
)),即若A~Λ=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
),则 f(A)~f(Λ)=diag(f(λ
1
),f(λ
2
),…,f(λ
n
)),其中λ
1
,λ
2
,…,λ
n
为A的特征值.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/37P4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设平面区域D:1≤x2+y2≤4,f(x,y)是区域D上的连续函数,则dxdy等于().
求幂级数的和函数.
设L:y=sinx(0≤x≤),由x=0,L及y=sinx围成面积S1(t);由y=sint,L及x=围成面积S2(t),其中0≤t≤.(1)t取何值时,S(t)=S1(t)+S2(t)取最小值?(2)t取何值时,S(t)=S1(t)+S2(t)取最大
设X1,X2,…,Xn(n>2)为取自总体N(0,1)的简单随机样本,为样本均值,记Yi=Xi一,i=1,2,…,n。求:(Ⅰ)Yi的方差D(Yi),i=1,2,…,n;(Ⅱ)Yi与Yn的协方差Cov(Y1,Yn)。
设相互独立的两随机变量X与Y均服从分布B(1,),则P{X≤2Y}=()
设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为:(Ⅰ)求P(x=2y);(Ⅱ)求Cov(X—Y,Y)。
假设总体X服从标准正态分布,X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,则统计量Y1=都服从________分布,且其分布参数分别为________和________。
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导数的图形如下页图,则f(x)有().
二次型f(x1,x2,x3)=x12+ax22+x32一4x1x2一8x1x3一4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22一4y32,求:正交变换的矩阵Q.
随机试题
A、stomachB、headacheC、characterD、churchDch在church中的发音是[t∫],在其他三项中的发音是[k]。stomach胃;headache头疼;charater特征;church教堂。
脑血栓形成患者服用阿司匹林,目的是
乳剂制备时,先将乳化剂加入到水中再将油加入研磨成初乳,再加水稀释的方法为乳剂制备时,使植物油与含碱的水相发生皂化反应,生成新皂乳化剂随即进行乳化的方法为
善于调经止血、柔肝止痛的白芍炮制品是()。
工程项目的招标工作应在()阶段完成。
混凝土及抹灰面涂饰方法一般采用()等方法。
在应收管理模块初始化中,需要录入每笔()的往来业务单据。
(2015.河南)在对待师生关系方面,新课程中教师的教学行为强调()(常考)
阅读下面材料,选好角度,自拟题目,联系实际,写篇不少于600字的文章,除诗歌以外,文体不限。传说,北山愚公家门前有两座大山挡住了路,他下决心要把山平掉,河曲智叟笑他太傻,认为不可能。愚公回答:“我死了有儿子,儿子死了有孙子,子子孙孙是没有穷尽的。这两座山不
法律规定的公安机关在公益方面应当履行的责任义务包括救护、扶助、调解等方面。()
最新回复
(
0
)