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  3. [2002年] 设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2．4=O，已知A的秩r(A)=2．(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

[2002年] 设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2．4=O，已知A的秩r(A)=2．(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

admin2019-04-15  52
问题 [2002年]  设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2．4=O，已知A的秩r(A)=2．(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．
选项
答案解一 因A为三阶实对称矩阵，可对角化．又秩(A)=2，由命题2．5．4．1(2)知，A的非零特征值只有2个，另一个特征值为0．设A的非零特征值为λ，则A的矩阵多项式f(A)=A2+2A的特征值为λsup>2+2λ，且满足λ2+2λ=0即λ=－2，λ=0，故A的特征值为－2，－2，0，于是A～diag(－2，－2，0)．由命题2．5．3．1(2)知，A+kE～diag(－2+k，－2+k，k)．为使A+kE正定，只需其所有特征值全大于零，即－2+k＞0，k＞0．因而当k＞2时，A+kE为正定矩阵． 解二 设λ为A的一个特征值，α为其对应的特征向量，则Aα=λα(α≠0)，λ2α=λ2α，于是有 (A2+2A)α=(λ2+2λ)α． 由A2+2A=O得到(λ2+2λ)α=0，因α≠0，故λ2+2λ=0，所以λ=－2，λ=0．因A为实对称矩阵必可对角化，且秩(A)=2，由命题2．5．4．1(2)知，A～diag(－2，－2，0)=Λ． 因A的全部特征值为－2，－2，0，故A+kE的全部特征值为－2+k，－2+k，k．当k＞2时，A+kE的全部特征值大于零，故A+kE为正定矩阵． 解三 因A为实对称矩阵，必可对角化，故存在可逆矩阵P，使P－1AP=Λ，则 A=PΛP－1， A+kE=PΛP－1+kPEP－1=P(Λ+kE)P－1， 其中Λ=diag(－2，－2，0)，而－2，－2，0为A的特征值．因A+kE与Λ+kE相似，且Λ+忌kE=diag(k－2，k－2，k)，当k＞2时，Λ+kE的特征值(其顺序主子式)大于零，而相似矩阵的特征值相等，故A+kE的特征值也全大于零，因而A+kE当k＞2时正定． 注：命题2．5．4．1 (2)若A为n阶实对称矩阵，则秩(A)等于A的非零特征值的个数(k重特征值视为k个特征值)，因而零特征值的个数等于n－秩(A)． 命题2．5．3．1 设A，B为n阶矩阵．(2)若n阶矩阵A相似于对角矩阵Λ，则其矩阵多项式f(A)一定相似于对角矩阵f(Λ)=diag(f(λ1)，f(λ2)，…，f(λn))，即若A～Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，则 f(A)～f(Λ)=diag(f(λ1)，f(λ2)，…，f(λn))，其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值．
解析
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考研数学三

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