[2002年] 设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2.4=O,已知A的秩r(A)=2.(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.

admin2019-04-15  37

问题 [2002年]  设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2.4=O,已知A的秩r(A)=2.(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.

选项

答案解一 因A为三阶实对称矩阵,可对角化.又秩(A)=2,由命题2.5.4.1(2)知,A的非零特征值只有2个,另一个特征值为0.设A的非零特征值为λ,则A的矩阵多项式f(A)=A2+2A的特征值为λsup>2+2λ,且满足λ2+2λ=0即λ=-2,λ=0,故A的特征值为-2,-2,0,于是A~diag(-2,-2,0).由命题2.5.3.1(2)知,A+kE~diag(-2+k,-2+k,k).为使A+kE正定,只需其所有特征值全大于零,即-2+k>0,k>0.因而当k>2时,A+kE为正定矩阵. 解二 设λ为A的一个特征值,α为其对应的特征向量,则Aα=λα(α≠0),λ2α=λ2α,于是有 (A2+2A)α=(λ2+2λ)α. 由A2+2A=O得到(λ2+2λ)α=0,因α≠0,故λ2+2λ=0,所以λ=-2,λ=0.因A为实对称矩阵必可对角化,且秩(A)=2,由命题2.5.4.1(2)知,A~diag(-2,-2,0)=Λ. 因A的全部特征值为-2,-2,0,故A+kE的全部特征值为-2+k,-2+k,k.当k>2时,A+kE的全部特征值大于零,故A+kE为正定矩阵. 解三 因A为实对称矩阵,必可对角化,故存在可逆矩阵P,使P-1AP=Λ,则 A=PΛP-1, A+kE=PΛP-1+kPEP-1=P(Λ+kE)P-1, 其中Λ=diag(-2,-2,0),而-2,-2,0为A的特征值.因A+kE与Λ+kE相似,且Λ+忌kE=diag(k-2,k-2,k),当k>2时,Λ+kE的特征值(其顺序主子式)大于零,而相似矩阵的特征值相等,故A+kE的特征值也全大于零,因而A+kE当k>2时正定. 注:命题2.5.4.1 (2)若A为n阶实对称矩阵,则秩(A)等于A的非零特征值的个数(k重特征值视为k个特征值),因而零特征值的个数等于n-秩(A). 命题2.5.3.1 设A,B为n阶矩阵.(2)若n阶矩阵A相似于对角矩阵Λ,则其矩阵多项式f(A)一定相似于对角矩阵f(Λ)=diag(f(λ1),f(λ2),…,f(λn)),即若A~Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),则 f(A)~f(Λ)=diag(f(λ1),f(λ2),…,f(λn)),其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值.

解析
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