首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
[2002年] 设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2.4=O,已知A的秩r(A)=2.(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
[2002年] 设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2.4=O,已知A的秩r(A)=2.(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
admin
2019-04-15
38
问题
[2002年] 设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A
2
+2.4=O,已知A的秩r(A)=2.(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
选项
答案
解一 因A为三阶实对称矩阵,可对角化.又秩(A)=2,由命题2.5.4.1(2)知,A的非零特征值只有2个,另一个特征值为0.设A的非零特征值为λ,则A的矩阵多项式f(A)=A
2
+2A的特征值为λsup>2+2λ,且满足λ
2
+2λ=0即λ=-2,λ=0,故A的特征值为-2,-2,0,于是A~diag(-2,-2,0).由命题2.5.3.1(2)知,A+kE~diag(-2+k,-2+k,k).为使A+kE正定,只需其所有特征值全大于零,即-2+k>0,k>0.因而当k>2时,A+kE为正定矩阵. 解二 设λ为A的一个特征值,α为其对应的特征向量,则Aα=λα(α≠0),λ
2
α=λ
2
α,于是有 (A
2
+2A)α=(λ
2
+2λ)α. 由A
2
+2A=O得到(λ
2
+2λ)α=0,因α≠0,故λ
2
+2λ=0,所以λ=-2,λ=0.因A为实对称矩阵必可对角化,且秩(A)=2,由命题2.5.4.1(2)知,A~diag(-2,-2,0)=Λ. 因A的全部特征值为-2,-2,0,故A+kE的全部特征值为-2+k,-2+k,k.当k>2时,A+kE的全部特征值大于零,故A+kE为正定矩阵. 解三 因A为实对称矩阵,必可对角化,故存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=Λ,则 A=PΛP
-1
, A+kE=PΛP
-1
+kPEP
-1
=P(Λ+kE)P
-1
, 其中Λ=diag(-2,-2,0),而-2,-2,0为A的特征值.因A+kE与Λ+kE相似,且Λ+忌kE=diag(k-2,k-2,k),当k>2时,Λ+kE的特征值(其顺序主子式)大于零,而相似矩阵的特征值相等,故A+kE的特征值也全大于零,因而A+kE当k>2时正定. 注:命题2.5.4.1 (2)若A为n阶实对称矩阵,则秩(A)等于A的非零特征值的个数(k重特征值视为k个特征值),因而零特征值的个数等于n-秩(A). 命题2.5.3.1 设A,B为n阶矩阵.(2)若n阶矩阵A相似于对角矩阵Λ,则其矩阵多项式f(A)一定相似于对角矩阵f(Λ)=diag(f(λ
1
),f(λ
2
),…,f(λ
n
)),即若A~Λ=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
),则 f(A)~f(Λ)=diag(f(λ
1
),f(λ
2
),…,f(λ
n
)),其中λ
1
,λ
2
,…,λ
n
为A的特征值.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/37P4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f’(x)≠0,证明:存在ξ,η,ζ∈(1,2),使得
设A,B为正定矩阵,C是可逆矩阵,下列矩阵不是正定矩阵的是().
设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x围成,求图形D绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的体积.
求幂级数的和函数.
设随机变量X的密度函数f(x)=且P{1<X<2}=P{2<X<3},则常数A=________;B=________;概率P{2<X<4}=________;分布函数F(x)=________。
设A和B为任意两不相容事件,且P(A)P(B)>0,则必有()
设各零件的质量都是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布,其数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg,问5000只零件的总质量超过2510kg的概率是多少?
设随机变量X在1,2,3中等可能地取值,随机变量Y在1~X中等可能地取值。求:(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的联合分布律及边缘分布律;(Ⅱ)求在Y=2的条件下X的条件分布。
随机地向圆x2+y2=2x内投一点,该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比,令X表示该点与原点的连线与x轴正半轴的夹角,求X的分布函数和概率密度。
将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于()
随机试题
A.现有的卫生、疾病防治政策分析B.行为、生活方式、社区条件和设施情况C.社区死亡和患病情况D.慢病防治需要依靠的主要组织机构和人员构成分析E.社区特点、人口学特征、经济状况等在社区卫生诊断中,社会学诊断是指
慢性支气管炎急性发作期的治疗措施是()
某地2012年拟建年产30万吨化工产品项目。依据调查,某生产相同产品的已建成项目,年产量为10万吨,建设投资为12000万元。若生产能力指数为0.9,综合调整系数为1.15,则该拟建项目的建设投资是()万元。【2013年真题】
()又称为“代理买卖证券业务”。
从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性。()
()是对同一物体的凹凸程度或不同物体的近远程度的知觉,它对于了解环境中各种物体的位置排列从而引导入的运动活动。
根据《民法典》的规定,因自愿实施紧急救助行为造成受助人损害的,救助人()
已知ARM处理器的R1=0x1234.5678,R2=0xFF00FF00,则执行指令ORRR0,R1,R2后,寄存器R0=【51】,R1=【52】。
TheGherkinBuildingCommissionedby:【L31】________firmcalledFosterandPartnersThefeaturesofitsappearance:Itsshapeis
A、Highspeed.B、Goodservice.C、Cleanenvironment.D、Deliciousfood.A由原文可知,当男士问女士乘飞机有哪些优点时,女士回答说是速度。因此答案为A。
最新回复
(
0
)