设4阶实对称矩阵A满足A4＝E，且A≠±E，则A的不同特征值的个数为( )

admin2022-06-09 40

问题设4阶实对称矩阵A满足A⁴＝E，且A≠±E，则A的不同特征值的个数为( )

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案C

解析设A的任一特征值为λ，其对应的特征向量为α，则Aα＝λα
由A⁴－E＝O，知(λ⁴－1)α＝0，故
λ⁴－1＝(λ－1)(λ＋1)(λ²＋1)＝0
由于实对称矩阵的特征值必为实数，故A的特征值为1和－1，若A的特征值只取λ＝1或λ＝－1，则有A＝E或A＝－E，与已知条件矛盾，故A有两个不同的特征值1和－1，C正确

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