设4阶实对称矩阵A满足A4=E,且A≠±E,则A的不同特征值的个数为( )

admin2022-06-09  42

问题 设4阶实对称矩阵A满足A4=E,且A≠±E,则A的不同特征值的个数为(          )

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案C

解析 设A的任一特征值为λ,其对应的特征向量为α,则Aα=λα
由A4-E=O,知(λ4-1)α=0,故
λ4-1=(λ-1)(λ+1)(λ2+1)=0
由于实对称矩阵的特征值必为实数,故A的特征值为1和-1,若A的特征值只取λ=1或λ=-1,则有A=E或A=-E,与已知条件矛盾,故A有两个不同的特征值1和-1,C正确
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