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设f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且满足f(x)=∫0xf(x-t)sintdt+x.则在(-∞,+∞) 上,当x≠0时,f(x) ( )
设f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且满足f(x)=∫0xf(x-t)sintdt+x.则在(-∞,+∞) 上,当x≠0时,f(x) ( )
admin
2019-05-15
23
问题
设f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且满足f(x)=∫
0
x
f(x-t)sintdt+x.则在(-∞,+∞) 上,当x≠0时,f(x) ( )
选项
A、恒为正
B、恒为负
C、与c同号
D、与c异号
答案
C
解析
令x-t=u,作积分变量代换,得
f(x)=∫
0
x
f(u)sin(x-u)du+x=sinx∫
0
x
f(u)cosudu-cosx∫
0
x
f(u)sinudu+x,
f’(x)=cosx∫
0
x
f(u)cosudu+sinx∫
0
x
f(u)sinudu+1,
f’’(x)=-sinx∫
0
x
f(u)cosudu+cos
2
x.f(x)+cosx∫
0
x
f(u)sinudu+sin
2
x.f(x)=x.
所以f(x)=
+C
1
x+C
2
,又因f(0)=0,f’(0)=1.所以
C
1
=1,C
2
=0,
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0
考研数学一
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