设f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且满足f(x)=∫0xf(x-t)sintdt+x.则在(-∞,+∞) 上,当x≠0时,f(x) ( )

admin2019-05-15  23

问题 设f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且满足f(x)=∫0xf(x-t)sintdt+x.则在(-∞,+∞) 上,当x≠0时,f(x)          (    )

选项 A、恒为正
B、恒为负
C、与c同号
D、与c异号

答案C

解析 令x-t=u,作积分变量代换,得
f(x)=∫0xf(u)sin(x-u)du+x=sinx∫0xf(u)cosudu-cosx∫0xf(u)sinudu+x,
f’(x)=cosx∫0xf(u)cosudu+sinx∫0xf(u)sinudu+1,
f’’(x)=-sinx∫0xf(u)cosudu+cos2x.f(x)+cosx∫0xf(u)sinudu+sin2x.f(x)=x.
所以f(x)=+C1x+C2,又因f(0)=0,f’(0)=1.所以
C1=1,C2=0,
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