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(1988年)设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2ex,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合,求函数y=y(x).
(1988年)设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2ex,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合,求函数y=y(x).
admin
2018-07-01
51
问题
(1988年)设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2e
x
,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x
2
一x+1在该点的切线重合,求函数y=y(x).
选项
答案
本题所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 λ
2
一3λ+2=(λ-1)(λ-2)=0 其根为 λ
1
=1,λ
2
=2 则齐次通解为 [*] 由于λ=1为特征方程的单根,则非齐次方程特解可设为 y
*
=Axe
x
代入原方程得 A=一2 则原方程通解为 y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
一2xe
x
由原题设曲线y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
一2xe
x
与曲线y=x
2
一x+1在点(0,1)处有公切线可知,y(0)=1,y’(0)= 由y(0)=1得 1=C
1
+C
2
由y’(0)=-1得 一1=一2+C
1
+2C
2
以上两式联立解得[*]则所求的解为 y=一2xe
x
+e
x
=e
x
(1-2x)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Wtg4777K
0
考研数学一
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