2. 考研
  3. (09年)设曲线y＝f(χ)，其中f(χ)是可导函数，且f(χ)＞0．已知曲线y＝f(χ)与直线y＝0，χ＝1及χ＝t(t＞1)所围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．

(09年)设曲线y＝f(χ)，其中f(χ)是可导函数，且f(χ)＞0．已知曲线y＝f(χ)与直线y＝0，χ＝1及χ＝t(t＞1)所围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．

admin2019-07-16  100
问题 (09年)设曲线y＝f(χ)，其中f(χ)是可导函数，且f(χ)＞0．已知曲线y＝f(χ)与直线y＝0，χ＝1及χ＝t(t＞1)所围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．
选项
答案由题设可知旋转体体积为V＝∫1tf2(χ)dχ 曲边梯形的面积为S＝∫1tf(χ)dχ 由题设可知，π∫1tf2(χ)dχ＝πt∫1tf(χ)dχ 即∫1tf2(χ)dχ＝t∫1tf(χ)dχ 上式两端对t求导得 f2(t)＝∫1tf(χ)dχ＋tf(t) (*) 继续求导得2f(t)f′(t)＝f(t)＋f(t)＋tf′(t) 即(2y－t)[*]＝2y (其中y＝f(t)) [*] [*] 在(*)式中令t＝1得f2(1)＝f(1)，即f(1)＝1或f(1)＝0．而由题设知f(t)＞1，则f(1)＝1，代入t＝[*]知，C＝[*]，即t＝[*]． 则所求曲线方程为2y＋[*]－3χ＝0．
解析
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考研数学三

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