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  3. 过原点作曲线的切线L，该切线与曲线及y轴围成平面图形D． (I)求切线L的方程． (Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积V．

过原点作曲线的切线L，该切线与曲线及y轴围成平面图形D． (I)求切线L的方程． (Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积V．

admin2018-05-23  45
问题 过原点作曲线的切线L，该切线与曲线及y轴围成平面图形D．
(I)求切线L的方程．
(Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积V．
选项
答案(I)设切线的切点为(x0，y0)，则切线的斜率为y’(x0)=[*]所以切线L的方程为 [*] 其中[*]因L过(0，0)点，把x=0，y=0代入上述方程得 [*] 即 x0=2，y0=e 因此所求切线L的方程为 [*] (Ⅱ)平面图形D如右图． 取积分变量为t．设[*]y=e，y轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积为V1，它是锥体，[*](x∈[0，2])即x=2lny(y∈[1，e])，y=e，y轴所围平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为V2，则V=V1一V2， V2=π∫1e(2lny)2dy=4π[yln2y|1e—∫1ey.2lny.[*]] =4π[e一2∫1elnydy]=4π[e一2ylny|1e+2∫1edy] =4π[e一2e+2(e一1)]=4π(e一2) 因此 V=V1一V2=[*] [*]
解析
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考研数学三

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