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过原点作曲线的切线L,该切线与曲线及y轴围成平面图形D. (I)求切线L的方程. (Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积V.
过原点作曲线的切线L,该切线与曲线及y轴围成平面图形D. (I)求切线L的方程. (Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积V.
admin
2018-05-23
54
问题
过原点作曲线
的切线L,该切线与曲线
及y轴围成平面图形D.
(I)求切线L的方程.
(Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积V.
选项
答案
(I)设切线的切点为(x
0
,y
0
),则切线的斜率为y’(x
0
)=[*]所以切线L的方程为 [*] 其中[*]因L过(0,0)点,把x=0,y=0代入上述方程得 [*] 即 x
0
=2,y
0
=e 因此所求切线L的方程为 [*] (Ⅱ)平面图形D如右图. 取积分变量为t.设[*]y=e,y轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积为V
1
,它是锥体,[*](x∈[0,2])即x=2lny(y∈[1,e]),y=e,y轴所围平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为V
2
,则V=V
1
一V
2
, V
2
=π∫
1
e
(2lny)
2
dy=4π[yln
2
y|
1
e
—∫
1
e
y.2lny.[*]] =4π[e一2∫
1
e
lnydy]=4π[e一2ylny|
1
e
+2∫
1
e
dy] =4π[e一2e+2(e一1)]=4π(e一2) 因此 V=V
1
一V
2
=[*] [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cOX4777K
0
考研数学三
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