过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形，记为D。 (Ⅰ)求D的面积A； (Ⅱ)求D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V。

admin2017-01-14 104

问题过坐标原点作曲线y=e^x的切线，该切线与曲线y=e^x以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形，记为D。
(Ⅰ)求D的面积A；
(Ⅱ)求D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V。

选项

答案设切点坐标为P(x₀，y₀)，于是曲线y=e^x在点P的切线斜率为[*]，则切线方程为y-y₀=[*](x-x₀)。它经过点(0，0)，所以-y₀=[*]，代入求得x₀=1，从而y₀=[*]=e，即切线方程为y=ex。 (I)取水平微元为A的面积元素(如图1-3-8所示)，则 [*] (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 [*]

解析

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考研数学一

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设α,β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：秩r(A)≤2；
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．证明B可逆；
非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则
设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为__________.
(2002年试题，六)设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)记当ab=cd时，求I的值．
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