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过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形,记为D。 (Ⅰ)求D的面积A; (Ⅱ)求D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V。
过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形,记为D。 (Ⅰ)求D的面积A; (Ⅱ)求D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V。
admin
2017-01-14
97
问题
过坐标原点作曲线y=e
x
的切线,该切线与曲线y=e
x
以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形,记为D。
(Ⅰ)求D的面积A;
(Ⅱ)求D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V。
选项
答案
设切点坐标为P(x
0
,y
0
),于是曲线y=e
x
在点P的切线斜率为[*],则切线方程为y-y
0
=[*](x-x
0
)。它经过点(0,0),所以-y
0
=[*],代入求得x
0
=1,从而y
0
=[*]=e,即切线方程为y=ex。 (I)取水平微元为A的面积元素(如图1-3-8所示),则 [*] (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 [*]
解析
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考研数学一
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