2. 考研
  3. 已知函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内f’(x)存在，设连接A(a，f(a))，B(b，f(b))两点的直线交曲线y＝f(x)于点C(c，f(c))，且a＜c＜b，试证：在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)＝0。

已知函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内f’(x)存在，设连接A(a，f(a))，B(b，f(b))两点的直线交曲线y＝f(x)于点C(c，f(c))，且a＜c＜b，试证：在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)＝0。

admin2015-11-16  23
问题 已知函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内f’(x)存在，设连接A(a，f(a))，B(b，f(b))两点的直线交曲线y＝f(x)于点C(c，f(c))，且a＜c＜b，试证：在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)＝0。
选项
答案证 直线AB的方程是[*] 引进辅助函数[*] 它的几何意义是连接A、B两点的直线与曲线f(x)之差，由题设知在A点、B点及C点处这两条线相交，自然有 F(a)＝F(b)＝F(c)＝0， 也就是说在这三点处两函数的函数值相同。 由已知条件F(a)＝F(c)＝F(b)＝0知，函数F(x)在区间[a，c]和[c，b]上满足罗尔定理。因此，在区间(a，c)内至少存在一点ξ1，使得F’(ξ1)＝0；在区间(c，b)内至少存在一点ξ2，使得F’(ξ2)＝0。 因a＜ξ1＜c＜ξ2＜b，且F"(x)＝f"(x)在(a，b)内存在，故F’(x)在区间[ξ1，ξ2]上满足罗尔定理条件。于是，在区间(ξ1，ξ2)内至少存在一点ξ，显然ξ也在区间(a，b)内，使得 F"(ξ)＝f"(ξ)＝0
解析 [证题思路]  利用曲线f(x)与直线AB的方程之差作一辅助函数F(x)，由题设知这两条线有三个交点，因而F(x)有三个零点，三次使用罗尔定理，可知存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)＝0。
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考研数学一

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