设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面Σ，都有—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=0，其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且=1，求f(x)。

admin2018-12-29 43

问题设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面Σ，都有

—xyf(x)dzdx—e^2xzdxdy=0，其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且

=1，求f(x)。

选项

答案由题设和高斯公式得 [*] 其中Ω为Σ围成的有界闭区域，±号对应曲面取外侧或内侧，由Σ的任意性，知 xf′(x)+f(x)—xf(x)—e^2x=0(x＞0)，即 f′(x)+[*](x＞0)，这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为[*]。 [*] 即C+1=0，从而C= —1。因此 [*]。

解析

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考研数学一

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