设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面Σ,都有—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=0,其中函数f(x)在(0,+∞)内具有连续的一阶导数,且=1,求f(x)。

admin2018-12-29  45

问题 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面Σ,都有—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=0,其中函数f(x)在(0,+∞)内具有连续的一阶导数,且=1,求f(x)。

选项

答案由题设和高斯公式得 [*] 其中Ω为Σ围成的有界闭区域,±号对应曲面取外侧或内侧,由Σ的任意性,知 xf′(x)+f(x)—xf(x)—e2x=0(x>0), 即 f′(x)+[*](x>0), 这是一阶线性非齐次微分方程,其通解为[*]。 [*] 即C+1=0,从而C= —1。 因此 [*]。

解析
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