[2002年] 设函数f(x)连续，则下列函数中必为偶函数的是( )．

admin2019-04-05 39

问题 [2002年] 设函数f(x)连续，则下列函数中必为偶函数的是( )．

选项 A、∫₀^x f(t²)dt
B、∫₀^x f²(t)dt
C、∫₀^x t[f(t)－f(一t)]dt
D、∫₀^x t[f(t)+f(一t)]dt

答案D

解析利用命题1．1．1．2判别，也可举反例排错确定正确选项．
解一因f(t²)为偶函数，故其原函数∫₀^x f(t²)dt为奇函数，而f²(t)为非奇非偶函数，故其原函数一般也是非奇非偶函数．因f(t)一f(－t)为奇函数，f(t)+f(一t)为偶函数，故t[f(t)一f(一t)]为偶函数，其原函数为奇函数；t[f(t)+f(一t)]为奇函数，其原函数为偶函数．仅(D)入选．
解二仅(D)入选．证明如下：令F(x)=∫₀^x t[f(t)+f(一t)]dt，则
F(一x)=∫₀^-x t[f(t)+f(一t)]dt

∫₀^x u[f(一u)+f(u)]du=F(x)．

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考研数学二

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