[2002年] 设函数f(x)连续,则下列函数中必为偶函数的是( ).

admin2019-04-05  25

问题 [2002年]  设函数f(x)连续,则下列函数中必为偶函数的是(    ).

选项 A、∫0x f(t2)dt   
B、∫0x f2(t)dt
C、∫0x t[f(t)-f(一t)]dt   
D、∫0x t[f(t)+f(一t)]dt

答案D

解析   利用命题1.1.1.2判别,也可举反例排错确定正确选项.
解一  因f(t2)为偶函数,故其原函数∫0x f(t2)dt为奇函数,而f2(t)为非奇非偶函数,故其原函数一般也是非奇非偶函数.因f(t)一f(-t)为奇函数,f(t)+f(一t)为偶函数,故t[f(t)一f(一t)]为偶函数,其原函数为奇函数;t[f(t)+f(一t)]为奇函数,其原函数为偶函数.仅(D)入选.
解二  仅(D)入选.证明如下:令F(x)=∫0x t[f(t)+f(一t)]dt,则
F(一x)=∫0-x t[f(t)+f(一t)]dt0x u[f(一u)+f(u)]du=F(x).
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