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[2002年] 设函数f(x)连续,则下列函数中必为偶函数的是( ).
[2002年] 设函数f(x)连续,则下列函数中必为偶函数的是( ).
admin
2019-04-05
27
问题
[2002年] 设函数f(x)连续,则下列函数中必为偶函数的是( ).
选项
A、∫
0
x
f(t
2
)dt
B、∫
0
x
f
2
(t)dt
C、∫
0
x
t[f(t)-f(一t)]dt
D、∫
0
x
t[f(t)+f(一t)]dt
答案
D
解析
利用命题1.1.1.2判别,也可举反例排错确定正确选项.
解一 因f(t
2
)为偶函数,故其原函数∫
0
x
f(t
2
)dt为奇函数,而f
2
(t)为非奇非偶函数,故其原函数一般也是非奇非偶函数.因f(t)一f(-t)为奇函数,f(t)+f(一t)为偶函数,故t[f(t)一f(一t)]为偶函数,其原函数为奇函数;t[f(t)+f(一t)]为奇函数,其原函数为偶函数.仅(D)入选.
解二 仅(D)入选.证明如下:令F(x)=∫
0
x
t[f(t)+f(一t)]dt,则
F(一x)=∫
0
-x
t[f(t)+f(一t)]dt
∫
0
x
u[f(一u)+f(u)]du=F(x).
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考研数学二
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