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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=k∫0xe1-xf(x)dx,其中k>1。证明:存在ξ∈(0,1)使f’(ξ)=(1一)f(ξ)成立。
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=k∫0xe1-xf(x)dx,其中k>1。证明:存在ξ∈(0,1)使f’(ξ)=(1一)f(ξ)成立。
admin
2022-09-14
51
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=k∫
0
xe
1-x
f(x)dx,其中k>1。证明:存在ξ∈(0,1)使f
’
(ξ)=(1一
)f(ξ)成立。
选项
答案
令g(y)=k∫
0
y
xe
1-x
f(x)dx,则g(0)=0,g([*])=f(1),由拉格朗日中值定理可知,存在η∈(0,[*]),使得 g
’
(η)=[*]=kf(1), 故kf(1)=kηe
1-η
f(η),即f(1)=ηe
1-η
f(η)。 再令φ(x)=xe
1-x
f(x),则φ(0)=0,φ(1)=f(1),所以φ(1)=f(1)=φ(η),由罗尔定理可知,存在ξ∈(η,1)[*](0,1),使得φ
’
(ξ)=0,即 ξe
1-ξ
[[*]f(ξ)-f(ξ)+f
’
(ξ)]=0, 所以f
’
(ξ)=(1一[*])f(ξ)。
解析
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考研数学二
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