2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)=k∫0xe1－xf(x)dx，其中k＞1。证明：存在ξ∈(0，1)使f’(ξ)=(1一)f(ξ)成立。

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)=k∫0xe1－xf(x)dx，其中k＞1。证明：存在ξ∈(0，1)使f’(ξ)=(1一)f(ξ)成立。

admin2022-09-14  46
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)=k∫0xe1－xf(x)dx，其中k＞1。证明：存在ξ∈(0，1)使f’(ξ)=(1一)f(ξ)成立。
选项
答案令g(y)=k∫0yxe1－xf(x)dx，则g(0)=0，g([*])=f(1)，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0，[*])，使得 g’(η)=[*]=kf(1)， 故kf(1)=kηe1－ηf(η)，即f(1)=ηe1－ηf(η)。 再令φ(x)=xe1－xf(x)，则φ(0)=0，φ(1)=f(1)，所以φ(1)=f(1)=φ(η)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)[*](0，1)，使得φ’(ξ)=0，即 ξe1－ξ[[*]f(ξ)－f(ξ)＋f’(ξ)]=0， 所以f’(ξ)=(1一[*])f(ξ)。
解析
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考研数学二

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