2. 考研
  3. 设函数f(x)具有二阶导数，且f”(x)＞0，又函数u(x)在区间[0，a]上连续，证明： ∫0af[u(t)]dt≥f[∫0au(t)dt]．

设函数f(x)具有二阶导数，且f”(x)＞0，又函数u(x)在区间[0，a]上连续，证明： ∫0af[u(t)]dt≥f[∫0au(t)dt]．

admin2022-06-04  89
问题 设函数f(x)具有二阶导数，且f”(x)＞0，又函数u(x)在区间[0，a]上连续，证明：
    ∫0af[u(t)]dt≥f[∫0au(t)dt]．
选项
答案注意到f”(x)＞0，由泰勒公式，得 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[*]f”(ξ)(x-x0)2≥f(x0)+f’(x0)(x-x0) 将x=u(t)代入，并两边对t从0到a积分，有 ∫0af[u(t)]dt≥∫0af(x0)dt+∫0af’(x0)[u(t)-x0]dt 即 ∫0af[u(t)]dt≥af(x0)+f’(x0)[∫0au(t)dt-x0a] 令x0=[*]∫0au(t)dt，得 ∫0af[u(t)]dt≥af[[*]∫0au(t)dt] 即 [*]∫0af[u(t)]dt≥f[[*]∫0au(t)dt]
解析
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考研数学三

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