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设函数f(x)具有二阶导数,且f”(x)>0,又函数u(x)在区间[0,a]上连续,证明: ∫0af[u(t)]dt≥f[∫0au(t)dt].
设函数f(x)具有二阶导数,且f”(x)>0,又函数u(x)在区间[0,a]上连续,证明: ∫0af[u(t)]dt≥f[∫0au(t)dt].
admin
2022-06-04
50
问题
设函数f(x)具有二阶导数,且f”(x)>0,又函数u(x)在区间[0,a]上连续,证明:
∫
0
a
f[u(t)]dt≥f[
∫
0
a
u(t)dt].
选项
答案
注意到f”(x)>0,由泰勒公式,得 f(x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)+[*]f”(ξ)(x-x
0
)
2
≥f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
) 将x=u(t)代入,并两边对t从0到a积分,有 ∫
0
a
f[u(t)]dt≥∫
0
a
f(x
0
)dt+∫
0
a
f’(x
0
)[u(t)-x
0
]dt 即 ∫
0
a
f[u(t)]dt≥af(x
0
)+f’(x
0
)[∫
0
a
u(t)dt-x
0
a] 令x
0
=[*]∫
0
a
u(t)dt,得 ∫
0
a
f[u(t)]dt≥af[[*]∫
0
a
u(t)dt] 即 [*]∫
0
a
f[u(t)]dt≥f[[*]∫
0
a
u(t)dt]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3XR4777K
0
考研数学三
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