2. 考研
  3. 设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2) T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，－1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4) T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时

设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2) T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，－1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4) T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时

admin2018-07-27  55
问题 设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2) T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，－1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4) T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案1 由于行列式|α1 α2 α3|=a+1，故当a≠－1时，方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(1，2，3)均有解(且有唯一解)，即向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示；又因行列式|β1 β2 β3|=6≠0，同理可知向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示．所以，当a≠－1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．当a=－1时，由于秩[α1 α2 α3]≠秩[α1 α2 α3[*]β1]，故方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1无解，即向量β1不能由向量组(Ⅰ)线性表示，所以此时向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价． 2 若(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，而秩(Ⅱ)=3，[*]秩(Ⅰ)=3，[*]行列式|α1 α2 α3|=a+1≠0，[*]a≠－1；反之，若a≠－1，则(Ⅰ)与(Ⅱ)都是线性无关组，又因由4个3维向量构成的向量组α1，α2，α3，βi线性相关，[*]βi可由α1，α2，α3线性表示(i=1，2，3)，即(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示，同理知(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，所以当a≠－1时，(Ⅰ)与(Ⅱ)必等价．综上可知，(Ⅰ)与(Ⅱ)等价[*]a≠－1．
解析
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考研数学三

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