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设f(x)在[-a,a]上具有三阶连续导数,且满足f’(x)=x2+∫0xtf(x-t)dt,f(x)=0,证明:存在一点ξ∈[-a,a],使得a4|f’’’(ξ)|=12∫-aa|f(x)|dx.
设f(x)在[-a,a]上具有三阶连续导数,且满足f’(x)=x2+∫0xtf(x-t)dt,f(x)=0,证明:存在一点ξ∈[-a,a],使得a4|f’’’(ξ)|=12∫-aa|f(x)|dx.
admin
2017-05-31
61
问题
设f(x)在[-a,a]上具有三阶连续导数,且满足f’(x)=x
2
+∫
0
x
tf(x-t)dt,f(x)=0,证明:存在一点ξ∈[-a,a],使得a
4
|f’’’(ξ)|=12∫
-a
a
|f(x)|dx.
选项
答案
由f’(x)=x
2
+∫
0
x
tf(x一t)dt[*]x
2
+x∫
0
x
f(u)du一∫
0
x
uf(u)du知f’(0)=0,f’’(x)=2x+∫
0
x
f(u)du,f’’(0)=0 根据台劳公式,有[*]其中η介于0与x之间,x∈[一a,a].于是,[*]这里m,M为|f’’’(x)|在[一a,a]上的最小值、最大值.故存在点e∈[—a,a],使得[*]
解析
只要证
由于|f’’’(x)|在[一a,a]上连续,可对f’’’(x)在[一a,a]上用介值定理.为证明
介于|f’’’(x)|在[一a,a]上的最小值和最大值之间.对f(x)用麦克劳林公式.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3Yu4777K
0
考研数学一
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