设x∈(0,1),证明下面不等式: (1+x)in2(1+x)<x2;

admin2016-07-22  40

问题 设x∈(0,1),证明下面不等式:
(1+x)in2(1+x)<x2

选项

答案令φ(x)=x2-(1+x)ln2(1+x),有φ(0)=0,且 φ’(x)=2x-In2(1+x)-2ln(1+x),φ’(0)=0. 当x∈(0,1)时,φ’’(x)=[*][x-ln(1+x)]>0.知φ’(x)单调递增,从而φ’(x)>φ’(0)=0,则φ(x)单调递增,则φ(x)>φ(0)=0,即(1+x)ln2(1+x)<x2

解析
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