设α=[a1,a2,…,an]T≠0,A=ααT,求可逆阵P,使P一1AP=A.

admin2019-08-12  35

问题 设α=[a1,a2,…,an]T≠0,A=ααT,求可逆阵P,使P一1AP=A.

选项

答案(1)先求A的特征值. 利用特征值的定义. 设A的任一特征值为λ,对应于λ的特征向量为ξ,则 Aξ=ααTξ=λξ. ① 若αTξ=0,则λξ=0,ξ≠0,故λ=0; 若αTξ≠0,①式两端左乘αT,则 αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ). 因αTξ≠0,故λ=αTα=[*]。 (2)再求A的对应于λ的特征向量. 当λ=0时 [*] 即解方程 a1x1+a2x2+…+anxn=0, 得特征向量为(设a1≠0) ξ1=[a2,一a1,0,…,0]T, ξ2=[a3,0,一a1,…,0]T, …… ξn一1=[an,0,0,…,一a1]T. [*] 由观察知ξn=[α1,α2,…,αn]T. (3)由ξ1,ξ2,…,ξs,得可逆阵P. [*]

解析
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