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设α=[a1,a2,…,an]T≠0,A=ααT,求可逆阵P,使P一1AP=A.
设α=[a1,a2,…,an]T≠0,A=ααT,求可逆阵P,使P一1AP=A.
admin
2019-08-12
53
问题
设α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
≠0,A=αα
T
,求可逆阵P,使P
一1
AP=A.
选项
答案
(1)先求A的特征值. 利用特征值的定义. 设A的任一特征值为λ,对应于λ的特征向量为ξ,则 Aξ=αα
T
ξ=λξ. ① 若α
T
ξ=0,则λξ=0,ξ≠0,故λ=0; 若α
T
ξ≠0,①式两端左乘α
T
,则 α
T
αα
T
ξ=(α
T
α)α
T
ξ=λ(α
T
ξ). 因α
T
ξ≠0,故λ=α
T
α=[*]。 (2)再求A的对应于λ的特征向量. 当λ=0时 [*] 即解方程 a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0, 得特征向量为(设a
1
≠0) ξ
1
=[a
2
,一a
1
,0,…,0]
T
, ξ
2
=[a
3
,0,一a
1
,…,0]
T
, …… ξ
n一1
=[a
n
,0,0,…,一a
1
]
T
. [*] 由观察知ξ
n
=[α
1
,α
2
,…,α
n
]
T
. (3)由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
s
,得可逆阵P. [*]
解析
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考研数学二
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