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  3. 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )

admin2021-02-25  38
问题 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组(              )
选项 A、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关
B、α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关
C、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关
D、α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性无关
答案C
解析 本题考查向量组线性相关与线性无关的概念．可以用观察的方法排除错误选项，也可以用分析法证明正确选项．
由于(α1+α2)-(α2+α3)+(α3+α4)-(α4+α1)=0，所以选项A不正确．
由于(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0，所以选项B不正确．
由于(α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0，所以选项D不正确．
由排除法知选项C正确，事实上，若设有数k1，k2，k3，k4，使
    k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4-α1)=0，
即(k1-k4)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4=0．
由于向量组α1，α2，α3，α4线性无关，从而
   
于是k1=k2=k3=k4=0，所以向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关．故应选C．
    本题也可以这样分析．首先有如下命题：
设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，向量组β1，β2，β3，β4可由向量组α1，α2，α3，α4线性表示，且(β1，β2，
β3，β4)=(α1，α2，α3，α4)C，则向量组β1，β2，β3，β4线性无关的充分必要条件是｜C｜≠0．
证明：若向量组β1，β2，β3，β4线性无关，则
    4=r(β1，β2，β3，β4)=r[(α1，α2，α3，α4)C]≤r(C)，
于是r(C)=4．矩阵C可逆，｜C｜≠0．
反之，若｜C｜≠0，矩阵C可逆，则有
    (β1，β2，β3，β4)C-1=(α1，α2，α3，α4)，
于是    4=r(α1，α2，α3，α4)=r[(β1，β2，β3，β4)C-1]≤r(β1，β2，β3，β4)，
故，r(β1，β2，β3，β4)=4，向量组β1，β2，β3，β4线性无关．
    利用上述命题可以很快进行判断，由于   
   
而
   
所以选项C的向量组线性无关，选项D的向量组线性相关．
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考研数学二

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