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已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组( )
已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组( )
admin
2021-02-25
81
问题
已知向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,则向量组( )
选项
A、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
4
,α
4
+α
1
线性无关
B、α
1
-α
2
,α
2
-α
3
,α
3
-α
4
,α
4
-α
1
线性无关
C、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
4
,α
4
-α
1
线性无关
D、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
-α
4
,α
4
-α
1
线性无关
答案
C
解析
本题考查向量组线性相关与线性无关的概念.可以用观察的方法排除错误选项,也可以用分析法证明正确选项.
由于(α
1
+α
2
)-(α
2
+α
3
)+(α
3
+α
4
)-(α
4
+α
1
)=0,所以选项A不正确.
由于(α
1
-α
2
)+(α
2
-α
3
)+(α
3
-α
4
)+(α
4
-α
1
)=0,所以选项B不正确.
由于(α
1
+α
2
)-(α
2
+α
3
)+(α
3
-α
4
)+(α
4
-α
1
)=0,所以选项D不正确.
由排除法知选项C正确,事实上,若设有数k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,使
k
1
(α
1
+α
2
)+k
2
(α
2
+α
3
)+k
3
(α
3
+α
4
)+k
4
(α
4
-α
1
)=0,
即(k
1
-k
4
)α
1
+(k
1
+k
2
)α
2
+(k
2
+k
3
)α
3
+(k
3
+k
4
)α
4
=0.
由于向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,从而
于是k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0,所以向量组α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
4
,α
4
-α
1
线性无关.故应选C.
本题也可以这样分析.首先有如下命题:
设向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
可由向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,且(β
1
,β
2
,
β
3
,β
4
)=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)C,则向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关的充分必要条件是|C|≠0.
证明:若向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关,则
4=r(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
)=r[(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)C]≤r(C),
于是r(C)=4.矩阵C可逆,|C|≠0.
反之,若|C|≠0,矩阵C可逆,则有
(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
)C
-1
=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),
于是 4=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=r[(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
)C
-1
]≤r(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
),
故,r(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
)=4,向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关.
利用上述命题可以很快进行判断,由于
而
所以选项C的向量组线性无关,选项D的向量组线性相关.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3i84777K
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考研数学二
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