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设α1,α2,α3,α4是四维非零列向量组,A=(α1,α2,α3,α4),A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1,0,2,0)T,则A*x=0的基础解系为( )
设α1,α2,α3,α4是四维非零列向量组,A=(α1,α2,α3,α4),A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1,0,2,0)T,则A*x=0的基础解系为( )
admin
2019-08-12
14
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是四维非零列向量组,A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),A
*
为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1,0,2,0)
T
,则A
*
x=0的基础解系为( )
选项
A、α
1
,α
2
,α
3
。
B、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
1
+α
3
。
C、α
2
,α
3
,α
4
。
D、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
4
,α
4
+α
1
。
答案
C
解析
方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量,所以四阶方阵A的秩r(A)=4—1=3,则其伴随矩阵A
*
的秩r(A
*
)=1,于是方程组A
*
x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。
又A
*
(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=A
*
A=|A|E=0,所以向量α
1
,α
2
,α
3
,α
4
都是方程组A
*
x=0的解。将(1,0,2,0)
t
代入方程组Ax=0可得α
1
+2α
3
=0,这说明α
1
可由向量组α
2
,α
3
,α
4
线性表出,而向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的秩等于3,所以向量组α
2
,α
3
,α
4
必线性无关。
事实上,由α
1
+2α
2
=0可知向量组α
1
,α
2
,α
3
线性相关,选项A不正确;显然,选项B中的向量都能被α
1
,α
2
,α
3
线性表出,说明向量组α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
1
+α
3
线性相关,选项B不正确;而选项D中的向量组含有四个向量,不是基础解系,所以选项D也不正确。故选C。
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