2. 考研
  3. 已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．

已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．

admin2018-08-22  104
问题 已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．
选项
答案方法一 由α1=2α2一α3及α2，α3，α4线性无关知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，且对应齐次方程AX=0有通解k[1，一2，1，0]T，又β=α1+α2+α3+α4，即 [*] 故非齐次方程有特解η=[1，1，1，1]T，故方程组的通解为k[1，一2，1，0]T+[1，1，1，1]T，k为任意常数． 方法二 [*] 故方程有两特解η1=[1，1，1，1]T，η2=[0，3，0，1]T． 又r(A)=3，故方程组的通解为 k(η1-η2)+η1=k[1,-2,1,0]T+[1,1,1,1]T，k为任意常数. 方法三 由AX=[α1,α2,α3,α4]X=β=α1+α2+α3+α4，得 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4. 将α1=2α2-α3代入，整理得 (2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0. α2,α3,α4线性无关，得 [*] 解方程组，得X=k[1,-2,1,0]T+[0,3,0,1]T，其中k为任意常数.
解析
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考研数学二

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