已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3,如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组AX=β的通解.

admin2018-08-22  44

问题 已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α23,如果β=α1234,求线性方程组AX=β的通解.

选项

答案方法一 由α1=2α2一α3及α2,α3,α4线性无关知r(A)=r(α1,α2,α3,α4)=3,且对应齐次方程AX=0有通解k[1,一2,1,0]T,又β=α1234,即 [*] 故非齐次方程有特解η=[1,1,1,1]T,故方程组的通解为k[1,一2,1,0]T+[1,1,1,1]T,k为任意常数. 方法二 [*] 故方程有两特解η1=[1,1,1,1]T,η2=[0,3,0,1]T. 又r(A)=3,故方程组的通解为 k(η12)+η1=k[1,-2,1,0]T+[1,1,1,1]T,k为任意常数. 方法三 由AX=[α1234]X=β=α1234,得 x1α1+x2α2+x3α3+x4α41234. 将α1=2α23代入,整理得 (2x1+x2-3)α2+(-x1+x33+(x4-1)α4=0. α234线性无关,得 [*] 解方程组,得X=k[1,-2,1,0]T+[0,3,0,1]T,其中k为任意常数.

解析
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