[2004年] 设n阶矩阵A= (I)求A的特征值和特征向量；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2019-05-10 43

问题 [2004年] 设n阶矩阵A=

(I)求A的特征值和特征向量；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P^-1AP为对角矩阵．

选项

答案利用现有结论可求得A的特征值和部分特征向量．求出A的全部特征向量后排成可逆矩阵P，即为所求．求解时需对b进行讨论． (I)解一根据A的结构特点：主对角线上的元素全为a=1，非零对角线上的元素全为b，由命题2．5．1．7即得到A的特征值为λ₁=1+(n－1)b，λ₂=λ₃=…=λ_n=1－b． (Ⅱ)(1)当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量α₁，α₂，…，α_n．令P=[α₁，α₂，…，α_n]，则 P^-1AP—A=diag(1+(n一1)b，1一b，…，1一b)． (2)当b=0时，因A=E，则对任意可逆矩阵P，均有P^-1AP=E．

解析

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考研数学二

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