设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αm-1线性表出，记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm-1，β，则( )

admin2021-01-25 92

问题设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表出，但不能由向量组(Ⅰ)α₁，α₂，…，α_m-1线性表出，记向量组(Ⅱ)α₁，α₂，…，α_m-1，β，则( )

选项 A、α_m不能由(Ⅰ)线性表出，也不能由(Ⅱ)线性表出。
B、α_m不能由(Ⅰ)线性表出，但可由(Ⅱ)线性表出。
C、α_m可由(Ⅰ)线性表出，也可由(Ⅱ)线性表出。
D、α_m可由(Ⅰ)线性表出，但不可由(Ⅱ)线性表出。

答案B

解析 β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表出，即存在常数k₁，k₂，…，k_m使得
β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m， (*)
β不能由α₁，α₂，…，α_m-1线性表出，从而知k_m≠0(若k_m=0，则k₁α₁+k₂α₂+…+k_m-1α_m-1，这和β不能由α₁，α₂，…，α_m-1线性表出矛盾)。
(*)可变为
k_mα_m=β一k₁α₁+k₂α₂+…+k_m-1α_m-1，
上式两端同除k_m
α_m=

(β一k₁α₁+k₂α₂+…+k_m-1α_m-1)，α_m能由(Ⅱ)线性表出，排除A，D。
α_m不能由α₁，α₂，…，α_m-1线性表出，若能，即存在常数λ₁，λ₂，…，λ_m-1使得
α_m=λ₁α₁+λ₂α₂+…+λ_m-1α_m-1，
代入(*)得
β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_m(λ₁α₁+λ₂α₂+…+λ_m-1α_m-1)
=(k₁+λ₁k_m)α₁+(k₂+λ₂k_m)α₂+…+(k_m-1+λ_m-1k_m)α_m-1，
这和β不能由α₁，α₂，…，α_m-1线性表出矛盾，排除C。故应选B。

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考研数学三

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