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设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αm-1线性表出，记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm-1，β，则( )
设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αm-1线性表出，记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm-1，β，则( )
admin
2021-01-25
54
问题
设向量β可由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表出，但不能由向量组(Ⅰ)α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表出，记向量组(Ⅱ)α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β，则( )
选项
A、α
m
不能由(Ⅰ)线性表出，也不能由(Ⅱ)线性表出。
B、α
m
不能由(Ⅰ)线性表出，但可由(Ⅱ)线性表出。
C、α
m
可由(Ⅰ)线性表出，也可由(Ⅱ)线性表出。
D、α
m
可由(Ⅰ)线性表出，但不可由(Ⅱ)线性表出。
答案
B
解析
β可由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表出，即存在常数k
1
，k
2
，…，k
m
使得
β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
， (*)
β不能由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表出，从而知k
m
≠0(若k
m
=0，则k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m-1
α
m-1
，这和β不能由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表出矛盾)。
(*)可变为
k
m
α
m
=β一k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m-1
α
m-1
，
上式两端同除k
m
α
m
=
(β一k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m-1
α
m-1
)，α
m
能由(Ⅱ)线性表出，排除A，D。
α
m
不能由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表出，若能，即存在常数λ
1
，λ
2
，…，λ
m-1
使得
α
m
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
m-1
α
m-1
，
代入(*)得
β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
(λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
m-1
α
m-1
)
=(k
1
+λ
1
k
m
)α
1
+(k
2
+λ
2
k
m
)α
2
+…+(k
m-1
+λ
m-1
k
m
)α
m-1
，
这和β不能由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表出矛盾，排除C。故应选B。
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考研数学三
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