设函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)一[f(x)]2，则f(n)= ( )

admin2019-04-09 38

问题设函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)一[f(x)]²，则f⁽ⁿ⁾= ( )

选项 A、n[f(x)]ⁿ⁺¹
B、n![f(x)]ⁿ⁺¹
C、(n+1)[f(x)]ⁿ⁺¹
D、(n+1)![f(x)]ⁿ⁺¹

答案B

解析由f’(x)=[f(x)]²得
f"(x)=[f’(x)]’=[(f(x))²]’=2f(x)f’(x)=2[f(x)]³，这样n=1，2时f⁽ⁿ⁾(x)=n![f(x)]ⁿ⁺¹成立．假n=k时，f^(k)(x)=k![f(x)]^k+1．
则当n=k+1时，有f^k+1(x)=[k!(f(x))^k+1]’=(k+1)![f(x)]^kf’(x)=(k+1)![f(x)]^k+2，由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)．

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