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设函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)一[f(x)]2,则f(n)= ( )
设函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)一[f(x)]2,则f(n)= ( )
admin
2019-04-09
54
问题
设函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)一[f(x)]
2
,则f
(n)
= ( )
选项
A、n[f(x)]
n+1
B、n![f(x)]
n+1
C、(n+1)[f(x)]
n+1
D、(n+1)![f(x)]
n+1
答案
B
解析
由f’(x)=[f(x)]
2
得
f"(x)=[f’(x)]’=[(f(x))
2
]’=2f(x)f’(x)=2[f(x)]
3
,这样n=1,2时f
(n)
(x)=n![f(x)]
n+1
成立.假n=k时,f
(k)
(x)=k![f(x)]
k+1
.
则当n=k+1时,有f
k+1
(x)=[k!(f(x))
k+1
]’=(k+1)![f(x)]
k
f’(x)=(k+1)![f(x)]
k+2
,由数学归纳法可知,结论成立,故选(B).
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考研数学三
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